A. Demoulin. — Sur les surfaces réglées , etc. 
caractérisé par la propriété suivante : Les cercles osculateurs des 
lignes L', en leurs points d’intersection avec une ligne K', sont 
orthogonaux au cercle c 1 qui correspond à c dans la transfor¬ 
mation T. Si , les courbes R' coïncident. 
23. Soit(7^|. Au lieu d’annuler h, faisons/i = icot <7; alors 
la formule (5) donnera tg g = i et, par suite, la surface S' sera 
une développable isotrope. En vertu du théorème démontré 
au n° 18, les points qui décrivent les lignes de courbure L corres¬ 
pondront dans T -1 aux intersections de K' et des génératrices 
rectilignes de 
24. Reportons-nous au n° 20 et supposons que 2 soit une 
développable isotrope. On a alors tg a- = ± i et la formule (5) 
donne tg = ± i h. La courbe R' est donc ligne de courbure 
de S'. D’après le n° 23, 2' est la surface la plus générale à 
lignes de courbure sphériques dans un système. Le théorème 
que M. Darboux a fait connaître au n° 1031 de ses Leçons sur la 
théorie des surfaces, est donc établi. En outre, la flexion dont il 
est question dans l’énoncé de ce théorème est analytiquement 
définie. Nous avons donné la présente démonstration dans le 
mémoire auquel l’Académie des sciences de Paris a décerné le 
Prix Bordin, en 1911. 
25. Le théorème de M Darboux conduit à la génération 
suivante des surfaces à lignes de courbure sphériques dans un 
système. On tracera sur une sphère dépendant d’un paramètre 
une infinité simple de cercles tels que leurs lieux soient des péri- 
sphères coupant la sphère sous des angles égaux. Chacune des 
bran lies de I’enveloppe de ces cercles engendrera la surface la 
plus générale jouissant de la propriété indiquée et les deux sur¬ 
faces se correspondront dans une transformation de Ribaucour. 
Ce théorème permet de définir les surfaces considérées au 
moyen de formules débarrassées de tout signe d’intégration. 
520 
