L. Godeaux. — Les surfaces bicanoniques doubles 
petit travail est donc de déterminer quelles sont les surfaces 
bicanoniques doubles ayant un nombre fini de points de dira- 
mation. C’est donc une première contribution au problème 
signalé par M. Enriques. 
Nous établissons le théorème suivant : 
Les surfaces algébriques de genre géométrique supérieur 
à Vunité, dont le système canonique nest pas formé au moyen 
des courbes d'un faisceau et dont le système bicanonique est 
composé avec une involution d 9 ordre 2, n'ayant quun nombre 
fini de points de coïncidence, ont les genres 
p {i) = 7, p a = 0, p g = 3, P 2 = 7, P 3 = 19,... 
On peut prendre, pour modèle projectif de ces surfaces, 
une surface bicanonique double, d'ordre 12, à sections 
hyperplanes de genre 10, de S 6 , possédant vingt-huit points 
de diramation qui sont des points doubles coniques . 
De pareilles surfaces existent certainement: l’une d’elles est 
la surface qui représente les couples de points non ordonnés 
d’une courbe de genre 3. 
Pour établir ce théorème, nous avons besoin d’une propriété 
des surfaces doubles, qui se déduit facilement des résultats 
obtenus dans un mémoire publié en 1914 (*), ainsi que nous le 
montrons dans le dernier paragraphe de cette note. 
1. — Soit F une surface algébrique de genre géométrique 
p g > 1, dont le système canonique jC| n’est pas formé par 
les courbes d’un faisceau, et dont le système bicanonique |2C| 
est composé au moyen d’une involution î 2 , d'ordre 2, ayant a 
points de coïncidence. Désignons par <ï> une surface image de 
cette involution I 2 . 
(*) Godeaux, Mémoire sur les surfaces algébriques doubles ayant un nombre fini 
de points de diramation. (Annales de la Faculté des sciences de Toulouse, 1914.) 
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