ayant un nombre fini de points de diramation. 
Entre les genres arithmétiques p a , iz a et les genres linéaires 
/> (1) , ti ( 1) , respectivement de F et <F, nous avons les relations (*) 
Va=^a— ( 1 ) 
jp (1) —1 = 2 (tû (1 > —1). (2) 
Le système bicanonique |2C| de F est adjoint au système 
canonique |C| et, par hypothèse, C est apte à décrire un 
système continu qui n’est pas un faisceau irrationnel. Par 
suite, d’après le théorème de MM. Picard et Severi (**), |2C| 
est régulier et le bigenre P 2 de F a pour valeur p 2 =p„ + p (1 '- 
Le système |2C| étant composé au moyen de I 2 , une courbe 
canonique C de F contient nécessairement cc 1 groupes de cette 
involution et il lui correspond, sur <ï>, une courbe T qui est 
une courbe canonique de cette dernière surface. Par suite, F est 
apte à décrire un système continu qui n’est pas un faisceau 
irrationnel. Raisonnant sur le système bicanonique j2F| de <4> 
comme on l’a fait sur |2C|, on trouve que le bigenre ü 2 de d> 
est n 2 = TT a + 7I (1) . 
Mais on a donc, puisque |2C| est composé avec I 2 , P 2 = 11^, 
Pa + /> (1) = ^ +^ (1) - (3) 
2. — Pour la surface algébrique <f>, de genre géométrique 
TZg , on a l’inégalité de Noether : 
Tl (1) 1 2 TT g 4 . 
(*) Godeaux, loc. cit. 
(**) E. Picard, Sur quelques questions se rattachant à la connexion linéaire dans 
la théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. (Journal de 
Crelle, 1905.) — Picard et Simart, Traité des fonctions algébriques de deux 
variables indépendantes, 1906, t. II. — Severi, Sulla regolarü'a del sistema aggiunto 
ad un sistema lineare di curve appartenente ad una superficie algebrica. (Rend. R. 
Accad. Lincei, 2° sem. 1908.) 
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