L. Godeaux. — Les surfaces bicanoniques doubles 
En combinant (2) et (3), on trouve 
donc l'inégalité précédente devient 
K a ^%Kg + Pa — 4. 
(O 
Mais 7z a ^. 7z g ; donc 
Kg + Pa<: 4 . 
(5) 
Observons que 
1° Le genre géométrique de F est égal à celui de d>, parce 
que à une courbe G correspond une courbe T : p g = n g . 
2° On a p g > 2, puisque, par hypothèse, |C| n’est pas com¬ 
posé avec un faisceau et, à fortiori, n’est pas un faisceau. 
3° On a PaS' 0, car si p a < 0, F est une réglée (P 2 == 0) 
ou une surface elliptique {p a = — 1). Dans ce dernier cas, 
le système canonique est composé au moyen d’un faisceau 
(En ri q ues). 
4° On a 7z a 7z g et tz g === p g ; donc l’inégalité (4) fournit les 
valeurs possibles de iz a : 
Pg '^VKg+ p a — 4 
L’inégalité (5) donne, moyennant les observations 2° et 3°, 
les valeurs possibles de p g et p a , à savoir : p g = 4, p a = 0; 
p g = 3, p a = 1; p g = 3, p a = 0. Partant de chacun de ces 
couples de valeurs, on détermine n g = p g et iz a par l’observa¬ 
tion 4°. Les formules (1), (2) et (3) donnent alors les valeurs 
de p (1) , 7r (1) et a. 
En résumé, on trouve quatre cas possibles : 
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