L. Godeaux. — Les surfaces Incanoniques doubles 
D’après le premier corollaire du théorème établi à la fin de 
ce travail, cette courbe D doit se scinder en deux autres ayant soit 
a = 24 (2 e cas), soit a = 20 (3 e cas) points communs. Cela 
n’est pas possible; donc les deux cas étudiés ici ne peuvent se 
présenter. 
5. — Passons au quatrième cas. Rapportons projectivement 
les courbes bicanoniques 2C de F aux hyperplans d’un espace 
linéaire à P 2 — 1 = p a -|- p (1) — 1 = 6 dimensions. Nous obte¬ 
nons une surface bicanonique d>, d’ordre | . 4(p (1) — 1) = 12, 
à sections hyperplanes 2r de genre 10 (on calcule celui-ci en 
appliquant la formule de Zeuthen à la correspondance existant 
entre une courbe 2C et la courbe 2r homologue). 
Supposons que d> se réduise à une surface W n-uple, n étant 
naturellement un diviseur de 12. Désignons par i n l’involution 
d’ordre n formée, sur <t>, par les groupes de points correspon¬ 
dant aux points de W. Une courbe bicanonique 2F de d> con¬ 
tient oc 1 groupes de i n par hypothèse; il en sera de même 
d’une courbe canonique T, puisque cette courbe, comptée deux 
fois, est une courbe bicanonique. Nous voyons donc que le 
système canonique |F| est également composé avec i n . Or, |F| a 
le degré ti ( 1) — 1=3, donc n = 3. Mais alors, d> se réduit à 
une surface W triple d’ordre 4, située dans un espace linéaire 
à 6 dimensions S 6 . Cela est absurde, car une surface d’ordre 4' 
est contenue dans un espace linéaire ayant au plus 5 dimen¬ 
sions. On en conclut que d> est une surface simple. 
Nous savons que la surface d> possède 28 points doubles 
coniques qui correspondent aux 28 points de coïncidence de 
h sur F (*). 
Les plurigenres de F se calculent en remarquant que le 
système i-canonique |iC| de cette surface est adjoint au système 
(*) Godeaux, loe. cit. 
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