ayant un nombre fini de points de diramation . 
(i — i)-canonique |(i — 1) C| et en appliquant le théorème de 
Picard-Severi déjà invoqué plus haut. On trouve facilement que 
le i-genre P 2 de F est 
P i=Pa+ (P' 1 »- 1) +1 = m -1) + 1. 
De même, le i-genre II, de <ï> est égal à 
En particulier, pour les trigenres, on a P 3 = 19, U i3 = 13. 
6. — Nous aurons complètement démontré le théorème 
énoncé dans le préambule lorsque nous aurons prouvé les deux 
théorèmes dont nous avons fait usage aux paragraphes 3 et 4. 
Nous démontrerons un théorème plus général dont les deux 
précédents ne sont que des corollaires. 
Soit F' une surface algébrique possédant une involution I 2 , 
d’ordre 2, douée d’un nombre fini a>0 points de coïncidence. 
Soit <ï>' une surface normale simple, de S r , image de 1 2 . 
Si x ± , x 2 , . . ., x r sont les coordonnées cartésiennes de S,., 
soient 
*Pi %2’ • • •) J^r) = 0, cp 2 = 0, . . ., —2 = 0 
les équations de <t>'. Gomme nous le savons (*), la surface <P f 
possède a points doubles coniques, correspondant aux points 
de coïncidence, et il existe au moins une hypersurface 
ffa , Æ 2 , . . ., Xr ) = 0 
passant par ces a points doubles et touchant <ï>' en chaque point 
(*) Gode aux, toc. cit. 
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