Die Rotationsflächen der kubischen Kegelschnitte. 
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Die vier Arten des kubischen Kegelschnittes entsprechen 
besonderen Werten von 1, m, n und zwar ist für die kubische 
Ellipse (1), Hyperbel (II), hyperbolische Parabel (III) 
und Parabel (IV) mit einer neuen Konstanten e: 
(3) I. 1 = 1, m = o, n = e 2 ; II. 1 = 1, m = o, n = — e 2 ; 
III. l = o, m = 1, n = —e; IV. 1 = o, m = o, n = 1. 
Die Parameter der drei unendlich fernen Punkte der 
einzelnen Arten sind dann: 
(4) I. X = oo, X = ei, X = — ei; II. X = oo, X = e, X = — e; 
Ul. X = oo, X = oo, X = e; IV. "X = oo, X = oo, X = oo. 
2. Uebergang auf rechtwinklige Koordinaten. Ein beliebiges 
schiefwinkliges System 0kann in ein rechtwinkliges System 
Oxyz immer so gelegt werden, dass die Achse in die x-Achse 
und die vi-Achse in die xy-Ebene zu hegen kommt. Dann sind 
die Richtungskosinus der Achsen £, 7), £ in bezug auf das recht¬ 
winklige System von der Form 1, 0, 0; oc 2 , ßa, o; ' aa, ß 3 , js (ßa ^ o, 
Y 3 S o) und bestehen zwischen den beiderlei Koordinaten die Be¬ 
ziehungen [I § 37, (2)]: 
(5) x = \ -f a 2 Y] 4- a3^, V = ß 2 vi -f- ßeC, z = (t = t). 
Setzt man hier die Werte (1) ein und bezeichnet die 
Koeffizienten wieder mit einfachen Buchstaben, so folgt: 
In bezug auf ein rechtwinkliges System Oxyz 
lautet die Parameterdarstellung der allgemeinen 
Raumkurve 3. Ordnung in homogenen Koordinaten 
x, y, z, t: 
x — aX 3 -f- a'X 2 -f a ;/ X, 
bX 2 + b'X, 
cX, 
IX 2 -j- mX + n. 
t 
Die Angaben (2) --(4) bleiben auch für diese Darstellung 
bestehen. 
3. Darstellung in Tetraederkoordinaten. Die Auflösung 
der Gleichungen (6) nach den Potenzen von X gibt mit einem 
Proportionalitätsfaktor p * 1 ): 
(7) 7 3 = py x , >2 = p y 2 , 1 = py 3 , 1 = py 4 , 
wo yi, yg, y 3 , y 4 die linearen Funktionen von x, y, z, t 
bedeuten: 
3 Joachimsthal, J. f. Math. 56 (1858), S. 4t; Gremona, Annali di mat. 
(1) 1 (1858), S. 164. 
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