Die Rotationsflächen der kubischen Kegelschnitte. 
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auf der Seite s 3 = EiE 2 des Dreiecks EiE 2 E 3 (Fig. 2) die Punktin¬ 
volution vollständig bestimmt, da zwei ihrer Punktepaare (II § 8 , 7), 
nämlich die Schnittpunkte Ei, E 2 mit r und die Schnittpunkte 
S 3 , S 3 ' mit k, bekannt sind. Einer der beiden, dann ebenfalls be¬ 
kannten Doppelpunkte D 3 , D 3 y der Involution, etwa D 3 , muss also 
auf BB' liegen. Dasselbe muss für die Seiten s 2 == E 3 Ei und 
si = E 2 E 3 gelten, die k in S 2 , S 2 y und Si, Sh schneiden und 
deren Involutionen die Doppelpunkte D 2 , D 2 y und Di, Di y haben 
mögen. 
Auf der Berührungssehne BB y muss also von jeder 
der drei Involutionen, die auf den Seiten 'Si, s 2 , s 3 durch 
die Punktepaare E 2 E 3 , SiSh; E 3 Ei, S 2 S 2 y ; EiE 2 , S 3 S 3 y (Fig. 2 ) 
bestimmt sind, je ein Doppelpunkt Di, D 2 , D 3 liegen. 
3. Lagebeziehung der sechs Doppelpunkte. Nach Bestimmung 
der sechs Doppelpunkte Di, Di y auf si; D 2 , D 2 y auf s 2 und D 3 , D 3 y 
auf s 3 betrachten wir zunächst die vier letzteren und verbinden 
je zwei ungleichnamige (mit verschiedenen unteren Indizes be¬ 
haftete) miteinander. Die Verbindungslinien D 2 D 3 , D 2 y D 3 y , D 2 D 3 y , 
D 2 y D 3 bilden ein vollständiges Vierseit (Fig. 3). 
Dieses hat, ausser den vier Ecken D 2 , D 3 , D 2 y , D 3 y , noch 
zwei weitere Ecken D 4 — D 2 D 3 x D 2 y D 3 y und Ü 4 y = D 2 D 3 y X D 2 y D 3 
und, ausser den zwei Nebenseiten s 3 ==j D 3 D 3 y und s 2 — D 2 D 2 y noch 
eine dritte S 4 = D 4 Ü 4 y , welche s 3 und s 2 in E 4 und E 4 y schneiden 
mögen (Fig. 3). 
Auf der Nebenseite s 3 sind die auf ihr liegenden Ecken 
D 3 , D 3 y und die Schnittpunkte Ei, E 4 mit den beiden anderen 
Nebenseiten harmonisch (I § 27, 7, III y ). Da aber D 3 , D 3 y nach 
ihrer Entstehung unter 2 als Doppelpunkte der Involution auf s 3 
auch zu Ei, E 2 harmonisch-sind, muss E 4 = E 2 sein. Auf s 2 muss 
ebenso E 4 y = E 3 sein. Dann fällt aber auch S 4 = E 4 E 4 y mit 
sx = E 2 E 3 zusammen (Fig. 4). 
I. Die Seiten si, s 2 , s 3 sind daher die Neben seiten 
des vollständigen Vierseits. Auf der Nebenseite si (Fig. 4) 
sind nun die auf ihr liegenden Ecken D4, D 4 y zu den Schnitt¬ 
punkten E 2 , E 3 mit den beiden andern Nebenseiten harmonisch. 
In dem vollständigen Vierseit (Fig. 4) sind ferner die Gegen¬ 
ecken D 2 , D 2 y sowohl, wie D 3 , D 3 y nach ihrer Entstehung unter 2 
harmonische Pole des Kugelkreises k; dasselbe gilt daher (dual zu 
II § 48, 7, IV) von den dritten Gegenecken D 4 , D 4 y . 
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