Die Rotationsflächen der kubischen Kegelschnitte. 
9 
Seiten des vollständigen Vierecks (Fig. 5) ist daher Berührungs¬ 
sehne einer durch die Raumkurve gehenden Rotationsfläche. 
Es gibt im allgemeinen vier Rotationsflächen 
2. Ordnung,, die durch eine kubische Hyperbel oder 
Ellipse hindurchgehen; ihre Berührungssehnen sind 
die Seiten des vollständigen Vierseits (Fig. 5). 
6. Zusammenfall zweier der drei Punkte Ei, E 2 , E 3 . Fallen 
(§ 1, (4), III) die beiden Punkte E 2 und E 3 zusammen, so wird Si 
die Tangente der Raumkurve im doppelt zählenden unendlich 
fernen Punkte E 2 = E 3 . Auf dieser ist dann (Fig. 6) Di als 
harmonischer Pol von Di' = E 2 = E 3 in bezug auf den Kugelkreis 
bestimmt. Dagegen bestimmen sich D 2 = De und D 2 ' = D 3 ', wie 
unter 3, als Doppelpunkte der Involution der Punktepaare Ei, E 2 = E 3 
und S 2 = S B , Sa' = S 3 ' (Fig. 2). 
Von den vier Seiten des vollständigen Vierseits fallen dann 
D 2 D 3 ' und D 2 'D 3 in s 2 = s 3 hinein, während die beiden andern 
Di mit D 2 = D 3 und D 2 ' = D 3 ' verbinden (Fig. 6). 
Bei der kubischen hyperbolischen Parabel gibt 
es also eine doppelt zählende Berührungssehne und 
zwei einfache. 
Die Rotationsfläche, welche der doppelt zählenden Berührungs¬ 
sehne entspricht, ist der parabolische Zylinder der Raum¬ 
kurve, dessen unendlich ferne Kurve gerade die doppelt gelegte 
Verbindungslinie der Punkte Ei und E 2 = E 3 ist. 
Fallen alle drei Punkte Ei, E 2 , E 3 zusammen, wird der 
Grenzübergang unsicher (vergl. dafür § 5, 7). 
§ 3. Analytische Bestimmung der Berührungssehnen. 
1. Das Dreieck der unendlich fernen Punkte. Bei der 
kubischen Hyperbel, von der wir zunächst ausgehen, haben die 
drei unendlich fernen Punkte nach § 1, (6); (4), II die Koordinaten: 
(1) Ei : x — 1, y — 0 , z — 0 ; E 2 : xo == ae 3 a'e 2 -f- a"e, 
yo = be 2 4- b'e, z 0 = ce; 
E 3 : xo' = - ae 3 -j- a' e 2 — a" e, 
yo' = be 2 — b'e, z 0 ' = —ce, 
wo, wie überall im folgenden als vierte homogene Koordinate 
t = 0 hinzuzudenken ist. 
9 
