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Otto Staude. 
D i e G 1 e i c h u n g e n ( 12 ) stellen die Berührungssehnen 
der vier durch die kubische Hyperbel oder, mit — e 2 
für e 2 , die kubische Ellipse gehenden Rotations¬ 
flächen dar. 
Durch Addition der ersten und vierten oder der zweiten und 
dritten Gleichung (12) folgt jedesmal die Gleichung ( 4 ), woraus in 
Uebereinstimmung mit § 2 , 3 , I folgt: 
Die Schnittpunkte Di — D 2 D 3 x D 2 ' 1 V und Di' = DPD3 
XD2D3' liegen auf si (Eig. 5 ). 
4. Die vier reellen Beriihrimgssehnen bei der kubischen 
Hyperbel. Bei der kubischen Hyperbel, wo die Punkte Ei, E 2 , E3 
in (1) alle drei reell sind, werden auch die Doppelpunkte D3, D3', 
D 2 , D 2 ' in ( 10 ), ( 10 ') und damit die Verbindungslinien ( 12 ) alle vier 
reell. In der Tat sind die absolut gedachten Quadratwurzeln w 
und w' in (11) und (11') stets reell und überdies von 0 verschieden. 
Indem die Gleichungen ( 12 ) noch mit 2e 2 dividiert und 
in eine zusammengefasst werden, ergibt sich mit Rücksicht auf ( 3 ): 
Bei der kubischen Hyperbel § 1, (6); ( 3 ), II gibt es 
stets vier reelle Berührungssehnen, deren Gleichungen 
aus der gemeinsamen Form: 
( 13 ) — bcx + c(a' + u)y + {(ae 2 |a"-f v)b-(a' + u)b'}z = o 
hervorgehen, indem für u, v derReihe nach die Werte¬ 
paare: 
n w4 w' w — w' w — w' wfw' 
GH » v oTTä ’ 37^ > ok2 > 2e 
w -j- w' 
2e 2 ’ 2e 7 
- w — w' — w 
2e 2 
w' 
w -f- w' 
^e 2 “ 
.2e 7 2e 2 7 2e 
bei absoluten Werten der Quadratwurzeln (ID, ( 11 ') ge¬ 
setzt werden. 
Da nach (11), (11') und (1): 
w 2 = {(ae 2 -f a") 2 + (a' 2 + b 2 ) e 2 + b' 2 + c 2 
-f- 2([ae 2 -f a"] a' -f- bb')e}e 2 , 
w' 2 = {(ae 2 + a") 2 -f (a' 2 + b 2 )e 2 + b' 2 -f c 2 
— 2([ae 2 -f a"]a' bb')e)e 2 , 
( 15 ) 
so ist: 
„ ( W 2 + w' 2 = 2 {(ae 2 + a") 2 + (a' 2 + b 2 ) e 2 -f b' 2 + c 2 } e 2 , 
(lb) | „ r2 
W • 
w' 2 = 4 {(ae 2 -f a")a' -j- bb'}e 3 , 
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