Die Rotationsflächen der kubischen Kegelschnitte. 
und daher für alle vier Wertepaare (14): 
(17) e 2 u 2 + v 2 = ( ae ' 2 4~ a ") 2 ~b ( a ' a 4~ b 2 )e 2 4~ (h /2 c 2 ), 
(18) uv — (ae 2 -j- a")a' -f bb'. 
In dem besonderen Palle: 
(19) (ae 2 -f a") a' -j- bb' — o 
wird u oder v, also, da w und w' positiv sind, in (14) w — w' — o. 
5. Die zwei reellen Berührungssehnen bei der kubischen 
Ellipse. Setzt man nun, um zur kubischen Ellipse § 1 , (3), 1 über^- 
zugehen, überall ei für e, so werden die Punkte E 2 und Eb in ( 1 ) 
imaginär, ebenso die Seiten S 2 und S 3 in (4) und die Doppelpunkte 
( 10 ) und ( 10 ') der Involutionen, sowie die Wurzeln w und w' in 
( 11 ) und ( 11 '), die in die vier Gleichungen (12) eingehen. Für 
die Quadrate dieser Wurzeln ist nach (15): 
w 2 = { — (ae 2 — a ") 2 + (a ' 2 —|— b 2 ) e 2 — (b ' 2 -j- c 2 ) 
4 - 2 ([ae 2 — a"]a'— bb')ei}e 2 , 
w ' 2 = { — (ae 2 — a ") 2 -j- (a ' 2 -f b 2 ) e 2 — (b ' 2 c 2 ) 
— 2 ([ae 2 —a"]a'— bb')ei}e 2 , 
und damit: 
| w 2 -f w ' 2 = 2 { — (ae 2 — a ") 2 -f- ( a ' 2 + b 2 ) e 2 — (b ' 2 -J- c 2 )} e 2 , 
^ ^ I w 2 — w ' 2 = 4 {(ae 2 — a") a' — bb'} e 3 i. 
Die Gleichung (13) der vier Berührungssehnen wird jetzt: 
( 22 ) — bcx 4 - c (a' -j- u) y 4 - {(— ae 2 + a" -f- v) b — (a' -|- u) b'} z — o, 
wo für u, v nach (14) die Werte gelten: 
— w — w' w — w' —w-f w' w -}- w' w — w' 
( 20 ) 
(23) u, v — 
2e 2 5 2ei ’ 2e 2 ’ 2ei 
- w — w' w -(- w' — w -f- w' 
2e 
2 ’ 
2ei 
2ei ’ 2e 2 
Nach (20) ist nun jetzt, wenn: 
(24) cc — — (ae, 2 — a") 2 -|- (a' 2 -f b 2 ) e 2 — (b' 2 -(- c 2 ), 
ß = 2([ae 2 — a"]a' — bb')e 
gesetzt wird: 
(25) w = e/a-)-ßi, w' = e|/a — ßi. 
Diejenigen Werte von w und w', deren reeller Teil positiv 
ist, sind dann, e positiv genommen: 
(26) w = e(A + Bi), w' = e(A — Bi) 
mit l ): 
(2 
?) A — |/ a + |/« 8 + ß 2 r B 
a 4- y a 2 4- ß 2 
2 
l ) C. F. Gauss, Werke 2, S. 104. 
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