Die Rotationsflächen der kubischen Kegelschnitte. 
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Die Doppelpunkte der Involution, die auf der Seite s 2 = Ss 
durch ihre Schnittpunkte mit dem Kugelkreis (5) und die Punkte 
Ei, E 2 = E3 bestimmt ist, sind wie in (10): 
(37) D 2 == D 3 : xo + w, y 0 . z 0 ; D 2 ' = Dg': x 0 — w, yo, z 0 , 
wo w den Wert (11) hat. Wir setzen dafür: 
(38) w = eu, u = |/(ae 2 + a'e -f a") 2 -f (be -j- b') 2 + c 2 . 
Es sind ferner auf der Tangente si die Punkte X und Y, 
als unendlich ferne Punkte rechtwinkliger Achsen, harmonische 
Pole in bezug auf den Kugelkreis, also nach § 2, 6 (Fig. 6) neben 
Di' = E 2 = E3 = X: 
(39) Di = Y. 
Die beiden Berührungssehnen DiD 2 und DiD 2 ' (Fig. 6) haben daher 
die Gleichungen: 
(40) z 0 x — (xo -f w)z = 0, zox — (xo — w)z = o, 
die doppelt zählende Berührungssehne D 2 Dg' = D 2 'D 3 = s 2 = s 3 , 
nach § 2, 6, die Gleichung (35). 
Bei der kubischen hyperbolischen Parabel §1, (6); 
(3), 111 gibt es stets drei reelle Berührungssehnen, 
deren Gleichungen lauten: 
(41) cx — (ae 2 -f- a'e -(- a" + u)z = 0, 
(42) cy— (be + b')z = 0, 
wo u den Wert (38) hat. 
§ 4. Die unendlich fernen Kurven der Rotationsflächen. 
1. Die vier unendlich fernen Kurven bei der kubischen 
Hyperbel. Die unendlich ferne Kurve einer durch die Raumkurve 
gehenden Rotationsfläche gehört dem Kegelschnittbüschel an, der 
durch den Kugelkreis und die doppelt gelegte Berührungssehne 
bestimmt ist und daher im Falle der kubischen Hyperbel nach (13) 
mit einem Parameter g die Gleichung hat: 
(1) {— bcx -j- c(a'-)-u)y-f ([ae 2 -f a" -J- v]b — fa' + u] b')z} 2 
— ;x(x 2 + y 2 -Pz 2 ) == 0. 
Soll diese Kurve (§ 2, 4) durch den Punkt Ei = 1, 0, 0 in § 3, (1) 
hindurchgehen, so muss g — b 2 c 2 sein. Sie geht dann nach § 2, 
auch durch E2 und E3. In der Tat gibt die Substition der 
