Die Rotationsflächen der kubischen Kegelschnitte. 17 
Die drei Kegelschnitte, die durch die drei un¬ 
endlich fernen Punkte der kubischen hyperbolischen 
Parabel (§1, (4), III) gehen und mit dem Kugelkreis 
eine doppelte Berührung mit reeller Berührungs¬ 
sehne besitzen, haben die Gleichungen: 
(8) {cx — (ae 2 -f a'e + a" ± u) z} 2 — c 2 (x 2 -f- y 2 -f- z 2 ) = o, 
(9) {cy — (be + b')z} 2 = o, 
mit dem Werte §3, (38) von u. 
Die Kurve (9) ist die doppelt gelegte Berührungssehne 
§ 3, (42) selbst. Beide Kurven (8) und (9) gehen ersichtlich durch 
die Punkte Ei, E 2 = Es in § 3, (34), das letztere mit Rücksicht 
auf § 3, (38). 
§ 5. Die Gleichungen der Rotationsflächen durch die kubischen 
Kegelschnitte. 
1. Bestimmung der Bündelparameter bei der kubischen 
Hyperbel. Die Fläche 2. Ordnung: 
(1) anx 2 -j- a 22 y 2 -f- a 3 sz 2 -f- 2 a 2 3 yz -p 2aeizx -f 2ai 2 xy -f 2 ai 4 xt 
-\- 2a 2 4yt -f- 2ae4zt -f- a44t 2 = o 
geht nach §1,(15) immer dann und nur dann durch die 
kubische Hyperbel § 1, (6); (3;, II, wenn die Koeffizienten 
die Werte haben: 
(2) an — 0 , 
a 22 = c 2 (ap -f- a'<j — ae 2 T), 
a3B = — a(b 2 e 2 — b' 2 )p — ([ae 2 -J- a"] b — a'b') b'c? 
— (ab' 2 — a'bb' -j- a"b 2 )e 2 T, 
2 a 2 3 = c {— 2ab' p -(- ( [ae 2 -f- a"] b — 2a' b') a —- (a' b — 2ab') c 2 t} , 
2 a 3 i = bc (b'cr -(- be 2 v), 
2ai 2 -- — bc 2 r>, 
2ai4 — b 2 c 2 a, 
2 a 2 4 = bc 2 (ap a'c), 
2a 3 4 = bc(ab'p + [a'b' — a" b] <y), 
a44 1 o. 
Die sechs ersten Koeffizienten (2) sind die der unendlich 
fernen Kurve der Fläche (1): 
(3) anx 2 + a 22 y 2 -f a38z 2 -f- 2 a 2 3 yz 2aeizx -|- 2ai 2 xy = 0 , t = o. 
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