Die Rotationsflächen der kubischen Kegelschnitte. 
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- bc 2 ([a' -}- u ] 2 — b 2 — 2 a [ae 2 -\- a" + v]) yt ~f bc ([a' -(- u ] 2 b' — b 2 b' 
— 2 a [ae 2 -|- a" -j- v] b' — 2 a" b [a' -J- u]) zt = o, 
mit den vier Wertepaaren §3, (14) von u, v. 
3. Die zwei Rotationsflächen der kubischen Ellipse. In der¬ 
selben Weise ergibt sich: 
Die Gleichung der zwei durch die kubische 
Ellipse: 
(11) x = aT ; 3 -f- a'X 2 -f- a"^, y = bX 2 -f b'X, z = c'X, t = l 2 -f- e 2 
gehenden Rotationsflächen lautet: 
( 12 ) { — bcx -f c(a'-fu)y -j- ([— ae 2 -f- a" -j- v] b — [a' -j- u] b')z } 2 
— b 2 c 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) -f- 2 b 2 c 2 (a' -|- u)xt 
— bc 2 ([a' -f- u ] 2 — b 2 — 2 a [— ae 2 -f- a" -J- v])yt -f bc([a' -f- u] 2 b' 
— b 2 b' — 2 a[— ae 2 -f- a" -f- v]b' — 2 a"b[a' -f u])zt — o, 
mit den zwei Wertepaaren §3, (31) von u, v. 
4. Die Bündelparameter bei der kubischen hyperbolischen 
Parabel. Mit den Werten § 1 , (3), III werden die Koeffizienten 
§ 1 , (15): 
(13) an — o, a 22 = —ac 2 er, a 33 = — ab(be -f- b')p — b(ab'e 
-j- a' b' -- a"b) a — e (ab ' 2 — a' bb' -j- a" b 2 )t, 
2 a 2 3 — c {abp -(- b (ae + a') a — (a' b — 2 ab'j ev}, 
2 a 3 i = — b 2 c ((7 — er), 2 ai 2 = o, 
2 ai 4 = b 2 c 2 o, 2 a 2 4 = —bc 2 (ap -f- a's), 
2 a 34 = bc(ab'p + [a'b' — a"b]c >) 5 a 44 = o. 
Dagegen werden die Koeffizienten von § 4, ( 8 ), noch mit ae 
multipliziert: 
(14) an = o, a 22 =— ac 2 e, a 33 = ae (ae 2 -|-a'ea" ± u ) 2 — aec 2 , 
2a23 — o j 2 ä 3 i — 2 aec (ae" —|— a e —(— a" _L u) 7 2 ai 2 —— o 5 
die von §4,(9), ebenso mit —ae multipliziert: 
(15) au = o, a 22 = —aec 2 , a 33 = ae(be -f b') 2 , 
2a23 = 2 aec(be -f- b'), 2 a 3 i = 0 , 2 ai 2 = 0 . 
Daher ergibt sich für die Parameter p, a, r in (13) entweder: 
(16) t = 1 , abp-f-b(ae-{-a ')<7 — (a'b — 2 ab')e = o, 
b 2 (er — e) — 2 ae (ae 2 + a' e -j- a" ± u); 
oder: 
(17) t = 1, abp -j- b(ae -j- a ')a — (a'b — 2 ab')e = 2ae(be b'), 
n — e = 0 . 
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