Die Rotationsflächen der kubischen Kegelschnitte. 
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Im Falle (24) wäre nach (23) t = o und damit a 22 = o. Da 
aber auch an = o, sind die Bedingungen (24) nicht miteinander 
verträglich. 
Im Falle (25) kann man nach (23) t = 1 nehmen, worauf 
die andern Bedingungen lauten: 
(27) abc = a'b — 2ab', 4ac 2 {ab 2 p-f-abb's-|-(ab' 2 — a'bb'-|-a"b 2 
— ac 2 )} -|- h 4 c 2 = o. 
Hieraus folgt aber, sowohl für b'^o als für b' = o: 
(28) 4a 2 b 2 p = 4a(ab' 2 -R ac 2 — a"b 2 ) — b 4 , abc = a'b — 2ab', t = 1. 
Im Falle (26) ist a = o, t = o, so dass p = 1 genommen 
werden kann. Man erhält dann aus (23): 
(29) an = o, a 22 — o, a 33 = ab 2 , a 2 s = o, a 3 i = o, ai 2 — o, 
ai 4 = o, 2a24 = — abc 2 , 2a34 = abb'c, a44 = o. 
Danach ergibt sich: 
Die Gleichungen der zwei durch die kubische 
Parabel: 
(30) x — a7 3 -f- a'7 2 -4- a"7, y = b7 2 -R b'7, z — c7, t = 1 
gehenden Rotationsflächen lauten: 
(31) b(2acx -R b 2 z) 2 — 4a 2 bc 2 (x 2 -R y 2 -f- z 2 ) — 4b 2 c 2 (a'b — 2ab')xt 
-R c 2 (4a' [a'b — 2ab'] b R 4a [ab' 2 -R ac 2 — a"b 2 ] — b 4 )yt 
— c (4 [a' b' — a" b] [a' b — 2ab'] b -R 4a [ab' 2 -j- ac 2 — a" b 2 ] b' 
— b 4 b')zt = o, 
und: 
(32) bz 2 — c 2 yt -R b'czt = o. 
Die zweite Rotationsfläche (32) ist der parabolische 
Zylinder (§ 1, 7), der durch die Kurve geht. 
7. Die Berührungssehnen bei der kubischen Parabel. Die 
Berührungsehnen der Rotationsflächen (31) und (32) 
haben neben t = o die Gleichungen: 
(33) 2acx -R b 2 z — o; (34) z = o. 
Die unendlich fernen Kurven der beiden Flächen sind: 
(35) (2acx -R b 2 z) 2 — 4a 2 e 2 (x 2 y 2 -R z 2 ) = o; (36) z 2 = o. 
Beide haben eine doppelte Berührung mit dem imaginären 
Kugelkreis und beide berühren sich in dem dreifach zählenden, 
unendlich fernen Punkte X (X = oo) der kubischen Parabel 
(Fig. 8). 
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