22 
Otto Staude. 
§ 6. Die kubischen Ellipsen mit Rotationszylinder. 
1. Die Seiten E 1 E 2 und E 1 E 3 als Tangenten des Kugel¬ 
kreises. Die drei unendlich fernen Punkte Ei, E 2 , Eg der all¬ 
gemeinen kubischen Ellipse: 
(1) x == a7 3 -f a'7 2 -J- a"7, y = b7 2 -f- b'7, z — cl, t = "X 2 -j- e 2 
haben in der unendlich fernen Ebene t = 0 die Koordinaten: 
(2) Ei : x = 1, y == 0 , z = 0 ; E 2 : xo = —ae 3 i— a'e 2 -j-a"ei, 
yo = —be 2 -|-b'ei, zo = cei; 
E 3 : xo' = ae 3 i — a'e 2 — a"ei,. 
yo' = — be 2 — b' ei, zo' = —• cei. 
Die beiden imaginären Seiten S 2 = E 3 E 1 und S 3 = E 1 E 2 des Drei¬ 
ecks E 1 E 2 E 3 haben [§ 3, (4)] die Linienkoordinaten: 
(3) u = 0 , v = zo', w = —yo'; 11 = 0 , v = zo, w = — yo 
oder nach (2) zusammengefasst: 
(4) u = o, v = =jrcei, w = be 2 ± b'ei. 
Für diese Koordinaten (4) ist aber: 
(5) u 2 -f- v 2 + w 2 = e 2 (b 2 e 2 — c 2 — b' 2 =L 2bb'ei). 
Da aber abce S 0 , so folgt mit Rücksicht auf die Gleichung des 
imaginären Kugelkreises in Linienkoordinaten der unendlich fernen 
Ebene: 
(6) u 2 -f- v 2 -f w 2 = o. 
Die beiden imaginären Seiten des Dreiecks der drei 
unendlich fernen Punkte der kubischen Ellipse (1) sind 
immer dann und nur dann Tangenten des imaginären 
Kugelkreises, wenn: 
(7) b' = 0 , b 2 e 2 — c 2 = 0 (c — sbe, e = zfc 1). 
2. Die beiden Rotationsflächen. Im Falle (7) wird nun nach 
§ 3, (24): 
(8) a — —(ae 2 — a") 2 -fa' 2 e 2 , ß = 2(ae 2 — a")a'e 
und damit: 
( 9 ) *2 ß 2 = | (ae 2 - a ") 2 + a' 2 e 2 } 2 
(10) oc -f iGF+F = 2a' 2 e 2 , — a + /PTT = 2(ae 2 — a") 2 . 
Ferner wird nach § 3, (27); (28): 
(11) A = sa'e, ß = s(ae 2 — a"), s = sign, a', 
22 
