Otto Staude. 
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berühren die Seiten Ei E2 und Ei Es des unendlich fernen Dreiecks 
der kubischen Ellipse den Kugelkreis (Fig. 9). Unter den Be¬ 
dingungen § 7, (2): 
(2) (ae 2 — a") 2 — (a' 2 -j- b 2 ) e 2 -)- (b' 2 -|- c 2 ) = 0, 
(ae 2 — a") a' — bb' = 0 
liegen die Ecken E2 und Es auf dem Kugelkreis (Fig. 10). 
Sind die Bedingungen (1) und (2) gleichzeitig erfüllt, so be¬ 
rühren die Seiten E1E2 und EiE 3 den Kugelkreis gerade in den 
Punkten E2 und E3 (Fig. 11). Infolge von (1) reduzieren sich aber 
die Bedingungen (2) auf: 
(ae 2 — a") 2 — a /2 e 2 = 0, (ae 2 — a") a' = 0, 
die zur Folge haben, dass sowohl ae 2 — a" als a' verschwinden. 
Immer dann und nur dann, wenn: 
(3) a' = 0, ae 2 — a" = 0, b' = o, b 2 e 2 — c 2 = 0 (c = sbe), 
sind sowohl die Seiten E 1 E 2 und E 2 E 3 Tangenten, als 
auch die Ecken E 2 und E 3 Punkte des Kugelkreises. 
2 . Die Rotationsfläche. Im Falle (3) fällt nun die Rotations¬ 
fläche § 6, (13) mit dem Rotationszylinder § 6, (14) zusammen, 
wird aber auch die Rotationsfläche § 7, (5) identisch mit dem 
Rotationszylinder § 6, (14). 
Immer dann und nur dann, wenn für die kubische 
Ellipse §6,(1) die Bedingungen (3) erfüllt sind, ist die 
einzige durch sie gehende Rotationsfläche ein 
Rotationszylinder. 
Die kubische Ellipse ist dann die Horopterkurve oder der 
kubische Kreis. 
Die Berührungssehne des Rotationszylinders ist nach § 6, (14): 
x 2 = 0. Der Horopter geht durch die Kreispunkte der zur Zylinder¬ 
achse senkrechten Ebenen. 1 ) 
3 Die Gleichungen des kubischen Kreises. Die Gleichungen 
des kubischen Kreises werden nach § 6, (1) mit den Bedingungen (3): 
(4) x == al(l 2 -f e 2 ), y b'X 2 , z = sbe^, t = X 2 -j- e 2 
und die Gleichung des Rotationszylinders, auf dem sie liegt: 
/ 1 \ 2 b 2 
(5) (y-s b )+ z8 = i ■ 
Bei positiv orientiertem Koordinatensystem Oxyz und positiven 
Konstanten a, b, e ist der kubische Kreis von positivem oder 
negativem Schrauben sinn 2 ), je nachdem s = — 1 oder s = -f 1. 
6 Schuh, Zeitscbr. Math. Phys. 47 (1902), S. 381. 
2 ) Ebenda, S. 395. 
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