Die Transfiguration ebener Kurven usw. 
b > y 
b <7 y 
Gew. Doppelpunkt 
stets 
m“ > 1 - ^ 
r 
Spitze 
— 
2 i b 2 
Y 
Isolierter Punkt 
V 
2-i b 2 
m 2 < 1-^ 
r 
Die Gerade y = y schneidet die Kurve in dem Punkte 
Dieser Punkt ist Doppelpunkt der Kurve; denn setzen wir 
= y + T » 
b 
c = x-, 
ra 
so lautet die Gleichung der Kurve: 
(bn -f my£) 2 = [G — bm) 2 -f- (yj -f y) 2 ] . n 2 . 
Die Tangenten in dem neuen Koordinatenanfang bestimmen 
sich aus: 
(b/) -f- my5) 2 = (b 2 m 2 y 2 j yj 2 . 
Setzen wir 
7) = xE , 
so ergibt sich zur Bestimmung von y. die Gleichung: 
(bx, -j- my) 2 = (b 2 m 2 -|- y 2 ) * 2 , 
X 2 (b 2 — b 2 m 2 — y 2 ) + 2 bmy* -f- m 2 y 2 == 0 . 
Die Diskriminante dieser Gleichung, 
D = b 2 m 2 y 2 — m 2 y 2 (b 2 — b 2 m 2 — y 2 ) 
= m 2 y 2 (b 2 m 2 -J- y 2 ) , 
ist stets >0; der betrachtete Punkt ist also stets gewöhnlicher 
Doppelpunkt. Nur wenn m = 0, so ist D = 0, und der betrachtete 
Punkt ist entweder eine Spitze oder ein Binodialpunkt. In unserm 
Falle ist der Punkt ein Binodialpunkt, da in der für m = 0 ent¬ 
stehenden Kurvengleichung 
bV ==■ G 2 + (yj + y) 2 ] y) 2 
71 aucil in den Gliedern dritter Potenz enthalten ist. Im Falle 
267 
