Die Transfiguration ebener Kurven usw. 
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Das zweite Asymptotenpaar hat also die Gleichung: 
± A 
a,sy + a laT x = —===_!. 
Wir können nun leicht das Geschlecht unserer Kurve be¬ 
stimmen. Da der Koordinatenanfang vierfacher Kurvenpunkt ist, 
so entspricht er 6 Doppelpunkten. Im Unendlichen hat die Kurve 
in der Richtung der beiden Asymptotenpaare je einen Doppelpunkt. 
Im Endlichen hat die Kurve ferner noch je einen Doppelpunkt in 
den beiden Schnittpunkten der Geraden y = y mit der um die 
Strecke -j-y parallel zur y-Achse verschobenen erzeugenden Hyperbel, 
wie sofort aus der Konstruktion klar ist. Die Anzahl der Doppel¬ 
punkte ist also 6 -f- 2 + 2 == 10. Dies ist aber für eine C 6 gerade 
die Maximalzahl. Unsere Kurve hat daher das Geschlecht p = 0. 
Der Verlauf der Kurve ist auf Tafel 15, Fig. 1 dargestellt 
und zwar für denjenigen Fall, wo die Kurve im Anfangspunkt 
zwei reelle und zwei imaginäre Tangenten hat. 
Ist ausser a 22 = 0 auch noch ai 2 = 0, so ist der erzeugende 
Kegelschnitt die Parabel: 
an x 2 -j— 2 a i3 x -f 2 a 23 y -f a 3 3 = 0 , 
also eine Parabel, deren Hauptachse der y-Achse parallel ist. Die 
zugehörige Zerrkurve hat die Gleichung: 
(a 3 3y 2 -b 2ai 3 yxy -f any 2 x 2 ) 2 = 4 (x 2 -f- y 2 ) (y -• y) 2 • a 23 2 y 2 . 
Sie hat im Koordinatenanfang einen 4fachen Punkt, ferner 
im Endlichen noch zwei weitere Doppelpunkte, ebenso wie die 
zuletzt betrachtete Hyperbel. Die co ferne Gerade ist Binodial- 
tangente der Kurve im co fernen Punkte der x-Achse. 
Die Kurve hat daher 6 —f- 2 —2 = 10 Doppelpunkte, ist also 
auch vom Geschlecht p = 0. Der Verlauf der Kurve ist auf 
Tafel 15, Fig. 2 gezeichnet. Die Kurve besitzt keine Asymptoten. 
2 . an = — a 22 ; an = 0. 
In diesem Falle ist der erzeugende Kegelschnitt eine gleich¬ 
seitige Hyperbel, deren Achsen den Koordinatenachsen parallel 
sind. Die Zerrkurve zerfällt in die Doppelgerade y = 0 und 
die C 6 
{ a 33y + a 22 (y — 2y) (x 2 -f- y 2 ) -f a 22 y 2 y + 2ai 3 yx ) 2 
= 4a 28 2 (x 2 -f- y 2 ) (y — y) 2 . 
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