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On établira d’une façon entièrement analogue le théorème cor¬ 
respondant pour l’espace; il viendra: 
(18) u(A )==-^.—V fudx 
4 nr à J 
(S) 
en désignant maintenant par d% l’élément de volume et par (d) le 
domaine intérieur à une sphère de centre A et de rayon r, entiè¬ 
rement située à l’intérieur du domaine où la fonction u vérifie l’é¬ 
quation de Laplace. 
§ 4. Voici un corrolaire du théorème précédent, utile pour la 
suite et intéressant par lui-même. Soit u une fonction harmonique 
à l’intérieur d’un certain domaine (D) et telle que l’intégrale: 
étendue, comme l’indique l’indice (D), à tout ce domaine ait un sens. 
Si Ton désigne alors par r la plus courte distance à la frontière 
(S) du domaine (D) d’un point A : intérieur à ce domaine, et par 
u ( A ) la valeur de la fonction u en A. on aura: 
(19) 
\w(A)\ <A, fu 2 dt 
r 2 J 
1 ' Mi 
OU 
( 20 ) 
3 
4nr l 
CD. 0 
u 2 d% 
suivant que le nombre de dimensions du domaine considéré sera 
égal à 2 ou à 3. 
La démonstration de l’inégalité (20) étant entièrement analogue 
à celle de l’inégalité (19), nous nous bornerons à établir cette der¬ 
nière. 
Considérons le domaine (ô') intérieur à un cercle de centre A 
et de rayon r' inférieur à la plus courte distance r du point Ah la 
frontière (S) du domaine (D). La formule (17) et l’inégalité de 
Schwarz nous donneront : 
