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ou bien 
On aura donc a fortiori: 
Cette inégalité 
ayant lieu sous Tunique condition suivante: 
r' <Zr , 
la relation (19) devra nécessairement être vérifiée. C’est ce que nous 
voulions établir. 
§ 5. Les inégalités du § précédent permettent d’établir un théo¬ 
rème de convergence qui, sans être indispensable pour la suite, nous 
semble mériter d’être signalé. Voici ce théorème: 
Désignons par ü k le terme général d’une suite infinie de fonc¬ 
tions harmoniques à l’intérieur d’un certain domaine (D) et considé¬ 
rons la série suivante: 
üi + ï T,+ U t + ... (21) 
Je dis que cette série sera sûrement uniformément convergente 
dans tout domaine intérieur au domaine (D) (et représentera par 
conséquent en vertu d’un théorème classique une fonction harmo¬ 
nique à l’intérieur du domaine (Z))) pourvu qu’il soit possible de 
faire correspondre à tout nombre non nul et positif £, si petit qu’il 
soit d’ailleurs, un nombre entier et positif n, tel que l’inégalité: 
j = n ( 22 ) 
entraîne l’inégalité suivante: 
2 
dx <^£ (23) 
(D) 
pour toute valeur entière et non négative du nombre p. 
En effet, supposons que la série (21) vérifie la condition précé¬ 
dente et désignons par (D x ) le domaine formé par ceux des points 
du domaine (Z)) dont les plus courtes distances à la frontière du 
domaine (D) ne sont pas inférieures à une longueur l non nulle 
mais pouvant être choisie arbitrairement petite. Soit d’autre part [i 
