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un nombre positif non nul mais aussi petit que Ton voudra. Posons 
alors: 
£ = Jl / 2 fX 2 
ou: 
e — ! -ni? p 2 
selon que le nombre de dimensions du domaine (D) sera égal à 2 
ou 3. Le nombre e étant choisi comme il vient d’être dit, détermi¬ 
nons le nombre n de façon que l’inégalité (22) entraîne l’inégalité 
(23); cela sera possible par hypothèse. Remplaçons dans celle des 
inégalités (19) ou (20) qui correspond au nombre de dimensions du 
domaine considéré (D), la fonction u par l’expression: 
j+p 
I u '‘ 
k=j 
et tenons compte de ce que l’inégalité (22) entraîne l’inégalité (23) 
Eu égard à la façon dont on a choisi le nombre £, on arrivera 
à la conclusion suivante: l’inégalité (22) entraîne l’inégalité: 
en tout point du domaine (Z^) et de sa frontière et cela pour toute 
valeur non négative de l’entier p. Donc la série (21) est bien uni¬ 
formément convergente dans toute l’étendue de tout domaine inté¬ 
rieur au domaine (D). 
§ 6. Je ferai maintenant quelques remarques qui nous seront 
utiles dans la suite et qui se rapportent au cas où la série (21) vé¬ 
rifie les hypothèses du théorème établi au § précédent. 
Il est évident que l’intégrale: 
J*U, 2 dx 
(% 
aura sûrement un sens à partir d’une certaine valeur assez grande 
de l’indice h. elle pourrait cependant n’en point avoir pour un nomr 
bre fini, mais quelconque de valeurs de cet indice. 
Par conséquent, si l’on posait: 
oo 
U=2 Di , 
Jc=ï 
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