13 
Cela posé revenons à l'intégrale: 
/■ 
(b') 
B/ dx 
(36) 
formant le premier membre de (31) en laissant maintenant au do¬ 
maine (i)') toute sa généralité. Soit (Z)/) la partie de (Z)') consti¬ 
tuée par les points appartenant à (D t ) et ( D") le reste du domaine 
(Z)'). Nous aurons: 
J R? <h = jR :/ d% + Jll 
2 dx. 
(D') (D'i). (D") 
En s’appuyant sur (35) on prouvera aisément que Ton a: 
J- 
B 2 dx ^ . 
(37; 
(38) 
Désignons par a, suivant le nombre de dimensions des domai¬ 
nes considérés, la différence des volumes ou celle des aires des do¬ 
maines (Z)) et (Z)'). (Il va sans dire que Ton ne considère que des 
domaines mesurables). On reconnaîtra de suite que la différence ana¬ 
logue relative aux domaines (D\) et (Dj) sera plus petite que a. 
Donc, si Ton donne à a une valeur assez petite, on aura: 
J" R 2 dx — J‘ R 2 dx < fi . 
(ih>) 
(39) 
(DO 
Cette condition étant vérifiée, il suffira de remarquer que les 
premiers membres des inégalités (35) et (39) ne peuvent être né¬ 
gatifs, pour déduire des relations (35), (37), (38) et (39) les im 
lités suivantes: 
0 
-/* 
(D') 
2 dx <; 3 jii 
Ces inégalités prouvent que l’intégrale (36) a le nombre 3 pour 
limite lorsque le domaine ( D ') tend d’une façon quelconque vers 
le domaine (D), sans toutefois cesser de rester intérieur à ce dernier. 
Donc l’intégrale 
t 
dx 
