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Cette relation ayant lieu pourvu que Fin égalité (47) soit vérifiée, 
on aura forcément aussi: 
1 
7i r 2 ’ 
(49) 
Si nous avions supposé que le domaine (D) était à trois dimen¬ 
sions, nous aurions trouvé que dans ce cas aussi la série (48) est 
convergente mais, au Heu de (49), nous aurions obtenu l'inégalité 
suivante: 
00 j P o 
y { ip,, (d)} < —- 
W j ^ v j — 4 7i r 3 
(50) 
en désignant comme précédemment par r la plus courte distance 
du point A à la frontière du domaine (D). 
Reprenons la formule (44) en laissant à la fonction / toute sa 
généralité et considérons la série 
oo 
O ty* (4) • (51) 
k—i 
Nous avons: 
j+m I 12 ! j-j-m ! j j+m I \ 2 j 
V C-uip^A) 1 1 < ; y cA V] rf)„ (^)| :, 
~ \ i \dr I Iw I il 
par conséquent, en vertu de la convergence de la série (45) et de 
Tune des inégalités (49) ou (50), la série (51) sera absolument et 
uniformément convergente dans tout domaine intérieur au domaine 
(D). Un théorème classique permet de conclure de ce qui précède 
que la somme de la série considérée est une fonction harmonique 
à l'intérieur du domaine (D). 
J'ajoute ceci: on a: 
j+m 
ch— Jj? 6'*% 
k-j 
donc, à cause de la convergence de la série (45), la série (51) sa¬ 
tisfait aux hypothèses du théorème exprimé par l’égalité (42). 
Bulletin III. 
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