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Nous avons: 
U v,,!l 
s!2>. ■ 
l 7c=t J [ k=l J l 7c=* J 
On en conclut: 
(64) 
lii 
2’x., 
'■2 +2 /**-»!= v 
^2, 
en s’appuyant sur les relations (54), (58) et (62). On a d’ailleurs: 
(65) 
en vertu de l’égalité (58). Les égalités (63), (64) et (65) entraînent 
l’égalité (55) qu’il s’agissait précisément de démontrer. 
§ 9. Je dis d’abord que la relation (55) a sûrement lieu dans le 
cas où les valeurs périphériques de la fonction harmonique u coïnci¬ 
dent avec celles d’un polynôme entier par rapport aux coordonnées. 
En effet, si l’on substitue alors la fonction u à la fonction w, 
premier membre de l’équation (5), il arrivera que l’intégrale (6) sa¬ 
tisfera à la condition voulue pour que les théorèmes du § 6 soient 
applicables à la série formant le second membre de l’équation (5). 
D ’autre part, si l’on pose: 
( Pm = <?0 C k U k 
le=1 
l’on aura: 
m-\-l 
<p m = Kk 
lc—1 
en désignant par les b des nombres constants. 
Donc, en vertu du lemme établi au § précédent, la relation (55) 
sera bien vérifiée dans le cas considéré. 
Bornons-nous maintenant à admettre que les valeurs périphéri¬ 
ques de la fonction harmonique u définissent une fonction continue 
sur la frontière du domaine (D). Un théorème classique nous ap¬ 
prend qu’il sera possible alors de former une suite infinie de po¬ 
lynômes: 
p P P 
r l •) J 2 * r 3V 
