26 
§ 12. A titre d’exemple, considérons le cas où il s’agirait de ré¬ 
soudre le Problème biharmonique pour un rectangle x ) (B). 
Prenons un sommet 0 du rectangle (B) pour origine des coor¬ 
données et dirigeons les axes des x et des y suivant les côtés OA —a 
et OB = b. 
Il est aisé de voir que les fonctions (4) pourront être définies 
ici de la façon suivante: 
(72) 
u l — x, u 2 = y, u 3 = xy 
j ip 
*4 H-1 
*4 H- 2 
U. 
4^+3 
1 
— (b - y) 
p rc 
(y - V ) . 
- 
a 
— e “ 
S sm 
I. 
P TZ 
b — e 
““T* 1 
1 sin 
y p n 
b 
f 
P 77 I 
—- y 
I . 
x p Jl 
1 e 
“ — e 
a < 
j S1I1 
a 
V — (a-x) 
P 71 
(x — a) 
\ . 
i e 
b 
— e b 
} sm 
(p = l, 2, 3...) 
En effet soit une fonction u harmonique à l’intérieur du rec¬ 
tangle, continue sur le contour et vérifiant en outre sur celui-ci les 
conditions de Dir i chie t. Ayant déterminé les constantes c 0 , c 15 c 2 
et c 3 de façon que la différence: 
u — (c 0 + ci x + y + c 3 x v) 
s’annule aux quatre sommets du rectangle {B\ on conclura aisément 
de la théorie classique des séries trigonométriques que Ton pourra 
déterminer les constantes c 4 , c 5 . ... de façon que l’on ait : 
u — c o + C k U k 
h=l 
la série du second membre étant uniformément convergente à l’in¬ 
térieur du rectangle et sur son contour. Il en sera évidemment à 
plus forte raison ainsi dans le cas où les valeurs périphériques de 
q Ce problème a déjà été étudié par M. Kojalowicz dans le travail suivant: 
Sur une équation aux dérivées partielles du 4-e ordre (en langue russe), St. Pé- 
tersbourg 1902, mais la méthode de eet auteur est moins générale que celle que 
nous donnons et, dans les applications, elle exige des calculs numériques très pé¬ 
nibles. 
