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la fonction u coïncideraient avec celles d'un polynôme entier en x 
et y. Par conséquent la méthode exposée dans les pages précéden¬ 
tes sera applicable au rectangle. D'ailleurs le calcul des fonctions 
définies par les formules (7), pourra se faire ici avec la plus 
grande facilité. 
Le cas du parallélépipède rectangle pourrait, on le voit sans 
peine, être traité d'une façon tout à fait analogue. 
Il serait évidemment aisé de multiplier des exemples analogues aux 
précédents. Sans insister là-dessus montrons, en passant à une appli¬ 
cation d'un ordre plus général, qu'il est aisé de former, à l'aide 
des fonctions yj k , la fonction appelée quelquefois fonction de Green 
du second ordre. Cette fonction peut être définie de la façon sui¬ 
vante: désignons par G (A, B) la fonction de Green classique re¬ 
lative au domaine (D) et aux points A et B ; posons ensuite: 
0 
(A. B)=jG (A, C) G (B, C) d%, 
CD) 
où d% c représente l'élément du domaine (D) relatif au point C. 
Cela posé considérons la fonction H (A. B) qui, regardée comme 
fonction des coordonnées du point jB, est une fonction biharmonique 
s’annulant à la frontière et telle que sa dérivée prise suivant la 
normale à la frontière (S) du domaine (D), soit égale à celle de la 
fonction 0 (vl, B). La fonction G 2 (A, B) définie par l'équation: 
G, (A,B)=0(A,B)-H(A,B) 
(73) 
sera précisément la fonction de Green du second ordre. Cette fonc¬ 
tion est, comme on le sait et comme on le vérifierait sans peine, 
une fonction symétrique par rapport aux points A et B. 
Désignons par F (A. B) le résultat obtenu en appliquant à la 
fonction G 2 (A. B) l'opérateur A de Laplace, une première fois 
par rapport aux coordonnées de l’un des points A ou B et une 
seconde fois par rapport à celles du second de ces points. 
La fonction F ( A , B) sera une fonction harmonique des coor¬ 
données de chacun des points A et jB, elle sera symétrique par 
rapport à ces points et elle jouira en outre de la propriété suivante: 
on aura identiquement: 
J*u (B) F (A, B) dx B — — u ( A) 
CD) 
