5 
Les fonctions (5) étant linéairement indépendantes, c’est à dire 
telles qu’il n’existe entre p de ces fonctions, soit: 
12 p 
aucune relation de la forme: 
p 
c, -f- JSj Cjc u «, k — o 
où les C représentent des constantes, le dénominateur dans l’expres¬ 
sion de ne pourra s’annuler pour aucune valeur de k. Par con¬ 
séquent aucune des formules (7) ne pourra être illusoire. 
Les fonctions: 
Vh, (8) 
jouiront manifestement des propriétés suivantes: 
1°. On aura pour toute valeur entière et positive de l’indice k: 
CW 
2°. L’inégalité: 
k 4= j ( 10 ) 
entraînera la relation suivante: 
J"Vk ft dr—O. ( 10 ) 
CW 
Nous établirons plus bas le théorème fondamental suivant: lors¬ 
qu’une fonction u harmonique à l’intérieur du domaine (D) vérifie 
certaines conditions, variables avec la nature du domaine (2>), mais 
toujours très générales et se réduisant pour une classe de domai¬ 
nes à cela seul que l’intégrale (3) ait un sens, cette fonction pourra 
être représentée à l’intérieur du domaine (D) par la série suivante: 
oo 
u = 
k=l 
CW 
série jouissant des propriétés suivantes: 
Circolo matematico di Palermo 1894), ainsi que Erhard Schmidt, Zur Theorie der 
linearen und nicht linearen Integralgleichungen (Mathematische Annalen 1907, 
p. 442). 
u\p k d %, 
( 12 ) 
