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La formule précédente sera sûrement à Fabri de toute critique 
dans les conditions suivantes: 
1°. On est assuré de Fexistence de la fonction v. 
dv 
2°. La dérivée ainsi que la fonction représentant les valeurs 
périphériques de la fonction v sont bornées et. en général, conti¬ 
nues dans toute l’étendue de la frontière (S) du domaine (D). 
3°. L’intégrale: 
f l 
(DJ 
u G du 
a un sens, ce qui arrivera sûrement dans le cas où, 
l’admettrons, l’intégrale 1 ): 
/• 
(DJ 
u 2 du 
comme nous 
(3) 
a une valeur finie, bien déterminée. 
Grâce aux progrès réalisés dans ces dernières années dans la 
théorie de l’équation biharmonique, on sera souvent en mesure de 
constater a priori que toutes les conditions précédentes sont vérifiées; 
on pourra même, dans beaucoup de cas, s’assurer à l’avance de la 
continuité des valeurs périphériques de la fonction u ou détermi¬ 
ner à l’avance la nature des discontinuités de ces valeurs au cas 
où il s’en présente. 
En résumé, dans les conditions où nous nous sommes placés, le 
Problème biharmonique est ramené à la détermination de la fonction 
u définie par l’équation (1 a). 
Pour étudier cette question, partons de la remarque suivante: sa¬ 
voir calculer effectivement la fonction w demandée dans le Problème 
de Dirichlet , c’est connaître une suite infinie de fonctions: 
%, w 2 , % v .. (4) 
linéairement indépendantes 2 ), harmoniques à l’intérieur du domaine 
(D), continues sur la frontière de ce domaine, admettant chacune 
par rapport à la normale à la frontière une dérivée bornée et, en 
général, continue, et telles que la fonction demandée w puisse être 
1 ) Dans tout ce travail nous nous plaçons au point de vue des quantités réelles. 
2 ) C’est à dire telles qu’il n’existe entre un nombre fini d’entre elles aucune 
relation linéaire à coefficients constants. 
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