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Or, la forme de ip (5) doit se retrouver dans celle de ip (10), 
ce qui n’est possible que sous les conditions suivantes: 
ai) 
k (x) — Const. , f(x, x') = cp (x — x') = cp (d), 
A = x — x 1 étant une erreur fortuite d’observation. 
Il ne reste donc plus qu’à introduire les conditions (11) dans 
les équations (6), (7) et (8) x ), pour obtenir conjointement avec 
l’équation (4) et la condition bien connue 
cp (A) dA = 1. 
le système d'équations propre à établir la formule 
A 2 
<p{A) = 
he 
dA 
h étant une constante positive. 
C’est la loi de Gauss, et par ce qui précède on voit 
qu’elle constitue un théorème, sous cette réserve 
toutefois que les fonctions dont nous nous y sommes 
servis soient continues et dérivables. 
Une remarque cependant est nécessaire. 
Dans la douzième leçon de son Calcul des Probabilités, M. H. 
Poincaré cherche à établir une loi plus générale que celle de 
Gauss. Dans ce but, il part de la condition lg. tp = max. Ig. î/j, et, 
à litre de postulat, il admet pour la valeur la plus probable x de 
l’inconnue x la moyenne arithmétique (4). Pour rapprocher les équa¬ 
tions 9 \g. ïp/dx = 0 et (4), il fait varier dans l’une et l’autre les 
valeurs x t (i = 1,2,..., w), tout en supposant que la fonction x 
reste alors constante. Par cette voie détournée M. Poincaré obtient 
k (x) = Const., f (; x , x') = ii {x') e 
sous la condition unique 
a' {x) -f -xh' ( x) = 0, 
a (x) -f- x'b (æ) 
4 ) Il est bon d’y mettre auparavant lg. ^ au lieu de 
