SUR 
QUELQUES FORMULES D’ANALYSE. 
i. 
Une formule de Gauss. 
1. Lemme I. x étant compris entre O et 1 (exclusivement), la série 
1 + Xj + X 2 -4- • • • -4- X„ -4- • * • 
est convergente (*). 
2. Corollaire, x étant compris entre O et 1 (exclusivement), la fonction 
\ s.n _ 
X„ = — J (x — V x 1 — 1 cos w) n du (**). (1) 
O 
tend vers zéro, quand n croît indéfiniment. 
En effet, dans toute série convergente, le terme général a pour limite zéro. 
(*) Recherches sur les fonctions X n , premier Mémoire, p. 60. 
(**) Formule de Jacobi. Après l’avoir citée, dans son Traité de calcul intégral (p. 502), 
M. Joseph Bertrand ajoute : « ... On peut en conclure aisément que, pour chaque valeur 
» de x moindre que l’unité en valeur absolue, X„ tend vers zéro, lorsque n augmente indé- 
» finiment. Si, en effet, dans l’intégrale (1), on remplace chaque élément par son module, 
» le module de la somme, comme on sait, sera augmenté; on a par conséquent 
X„< ~ [x 2 h-( 1 -x 2 )»'w]!cto, 
0 
» et tous les éléments de l’intégrale tendent vers zéro lorsque n croît indéfiniment. » 
Ou nous ne comprenons pas les paroles du savant Géomètre, ou, nous semble-t-il, elles 
expriment cette proposition fausse : Le nombre des parties d’une somme croissant indéfi¬ 
niment, la somme tend vers zéro, si chacune de ces parties tend vers zéro. 
