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SUR QUELQUES FORMULES 
» ou, ce qui est équivalent. 
1 
1 »/■-. fz) U (z 
x 
X 
» 0 (X < 1) 
(C) 
7. Remarques. — I. L’égalité (C), que nous croyons nouvelle, est remar¬ 
quable ((*) **). 
IL Substituant à X 1? X 2 , X 3 , ... leurs valeurs connues, on trouve, 
comme développement du premier membre, 
2 x5 4 x5 16 x7 
x H-- - 4 - —-H-- H- • • • (6) 
2 5 — x 2 5 (3 — x 2 ) (5 — 5x 2 ) 4 (5 — 5x 2 ) (35 — 30x 2 + 3x‘) 
et, comme développement du second : 
x -+- -x(5x 2 —1) + — (5x 2 — 1)(5x 3 — 3x) -t- — (Sx 5 — 3x)(35x 4 — 30x 2 h- 3) -4- ••• (7) 
4 j 2 o4 
Ainsi, les séries (6), (7), convergentes si la variable x est comprise entre 0 et 1 
(exclusivement), ont même somme. Celte limite commune esl-£yz^' 
III. Si, dans la série (6), on développe chaque terme suivant les puis¬ 
sances croissantes de x, et que l’on identifie ce nouveau développement avec 
la série (7), on obtient une infinité de sommes de séries. 
IV. On sait que 
1 ç 1 + x = JL x 
2 '1 — x 1.2 1 
7 11 
— x 3 H -X, -+- • • > (*“ 
5.4 5.6 v ' 
( 8 ) 
Conséquemment, les séries (6), (7), (8), de formes très différentes, ont 
même limite. 
(*) La seconde phrase entre guillemets est tirée d'une lettre à M. Hermite, en date du 
8 novembre 1889. 
(**) Pourrait-on y remplacer f n (z) par une fonction autre que X„? 
(**.) p rcm j er Mémoire, p. 61. 
