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SUR QUELQUES FORMULES 
On a 
dX n ,i+l 
K = -t~ £ 
2 
dx x — 1 x 2 — 1 
„ d 2 X„ ^ x -4- I 
_ _ 1 ç 
x„-p;, 
4 </X„ 4x 
, x„ — p; . 
dx 2 x — 1 x 2 — I dx (4 2 — 1 ) 
Si l’on multiplie par — n(n -f- 1), par 2a?, par x 2 — 1, et qu’on ajoule 
les produits, on trouve, eu égard à l’identité 
(x 2 — \ ) -4- 2x ~ — n[n -4- 1 ) X„ = 0 
dx 2 
dx 
dX„ 
(x 2 — 1)P" -t- 2xP(, ~ n(n -4- 1)P„ = — 4—. 
Cette équation ne diffère, de l’équation (32), que par le second membre 
(55) 
(54) 
23. Une intégration. Remettons y au lieu de P n : 
(x 2 — Y) y" -4- 2 xy' — n(n ■+■ \)y — — 4 
d]L 
dx 
(55) 
Quand on fait abstraction du second membre, une intégrale est y = X„ (24). 
Soit donc, suivant la méthode connue, 
et, par conséquent : 
y = x„ f ü,/ix; 
(56) 
dx n r , 
y' = X B Ü„ ■+■ -£j U n dx, 
V 
dlL dX n d*X n r , 
La substitution donne 
dU n 
(^-n~ + xx,i u .= 
OU 
(x 2 — 1)X„ 
MK 
dx 
d _K 
dx 
dX r . 
dX 1 dX r 
— 4X.- 
Le premier membre est la dérivée de (x 2 — 1)X*U„ (*). 
(*) La multiplication par X„ abrège le calcul. 
