D’ANALYSE. 
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Donc, au moyen de la formule connue: 
/ *' x n dx 2.4 . G ... n — 1 
y/\ _ x * 3.5.7 ...n 
la relation (S) devient 
Pj— gr —— \dx — O .(T) 
/ \ x V\-x l ] 
41. Théorème II. a étant une quantité autre que x : 
/ >4 (n -+- l)X n+1 (2 n -+- t)aX„ -+- >*X„_ ( 
J -—- ‘'■ c “ 0 .< D > 
—1 
D’après la relation (G), le premier membre se réduit à (2 n + \)J X n dx. 
Or, cette intégrale est nulle (32, note). 
42. Corollaire. Les polynômes P nH _,, P„, P M _, satisfont à la relation 
(« + t)P B+1 -|(2 m + t)xP„= o.(Y) 
A cause de 
/*+' x — z 
p -=/ ..<“> 
— 1 
et de l’égalité (14), le premier membre se réduit à 
r +l (» + i)z, tl —(2» + -pxz^MZ,^ dr 
J X — Z 
ou, par le changement de 2 en x et de x en z : 
r +l (n + 1)X„ +1 - (2 n ■+- \)zX n + nX,,^ J 
/ --——— dx ; 
J z — x 
-1 
On vient de voir que cette intégrale est nulle. Donc, etc. 
43. Théorème III. On a , entre trois fonctions consécutives, la relation 
dX n+l (ÈX n d\ n _ t 
n — -(2m -h 1)x — h (m -h t)-= 0.(W) 
dx ax dx 
Tome XLIX. 4 
