D ANALYSE 
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51. Corollaire IV. x étant compris entre 0 et 1, la série 
\ dX, I dX 2 \ dX„ 
-X 2 —- +--X 3 —- + ... H -X B+t —- + ••• 
1.2 dx 2.3 dx n{n ■+■ 1 ) dx 
a pour limite — 1. 
Conséquence du Corollaire II. 
• (Si) 
52. Théorème VII. On a, entre n -(- 2 fonctions consécutives , la relation 
1/2 2x1/* 2\ 1 .2 2 v I 
g (X.-X ! j + 5 (x,|xJ + ... + -—:(X.-,-X. +1 ) _ | 
= n(Xl - X,.^,) + (n + 2) [XL, - X„X n+2 ] - (1 - x 4 ). ! 
Si l’on combine, par addition, les égalités (4-8), (4-9), on trouve, 
1 dx, 1 dX 2 1 dX„ 1 
+ x.) -z + ^(x. + x 3) — + . - + ^rr-TTtx»-. - x„ +1 ) 
dx 2.3 
dx 
Mais les formules 
n -h 2 
Y 
\ 
dX n+l 
« -+- 1 
+Î I 
dx 
dX„ 
H 
-+- 1 
dx 
1 
-x 2 
dX„ 
n 
dx 
\ 
— X 2 
donnent 
I dX„ 
»(» -H 1 ) 
y d* n+ > Y dX„ 
x " +t "d^ x " +1 d7 " 1 ' 
(xX n X„ +1 ), 
(X„_) — a 'X„) 
x n , - x n+1 
dx 
(52) 
( 3 ) 
n(/t h- 1) dx (2n -t- 1 ) (1 -t- x 2 ) 
Au moyen de cette valeur, l’égalité (52) se transforme en la relation (Z). 
(S5) 
53. Vérification. Si l’on change «en n — 1, et qu’on retranche, on 
doit donc avoir 
XL. - X 2 +1 = (2» ■+■ I ) [(n + 2) (Xf l+1 - X„X n+2 )] -h n(X 2 - X n _,X n+t ) 
- (n + 1 ) (X 2 - £_,X„ +1 ) -(» — !) (X 2 _, - X„_ 2 X„) ; 
ou, après quelques réductions : 
(2n 2 +5n -h Z)X\ H — n(2n - I )XL« + (2» h- l) n X 2 i 
= ( 2 « •+■ C[(2n -+- 3)X„X n+1 x — X„_,X„ +1 — (n — 1)X„_ 2 X„]. ) ' 
. . ( 54 ) 
