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SUR QUELQUES FORMULES 
Si l’on remplace (n — 1 )X„_ 2 par (2n — \ )x\ n _ , — wX„ (*), on obtient 
(m -+- t ) (2 il -+- o)X* +1 — (2 n -+- 1) [(2n -t- 3)X„x ) 
4 - (2 n — 1)X„ [(2 n h- l)X„ - nX„_,] = 0. 
. ri i • . (2«4-l)X„a;— nX 
Regardons X B+ , comme une inconnue. L une des racines est - ^— 
donc l’autre doit être l X n _, (**). 
En effet, 
(2 n l)X„x — mX„_, ^ 2m — 1 
n + \ 2n 5 
2m - 4 - 1 
(n -t- 1 ) (2 m 4- 3) 
[(2m 
3)X„X - Xi-.]- 
Ainsi, l’égalité (55) est une conséquence de la relation (14); et, par 
suite, il en est de même pour l’équation (54). Enfin, l’égalité (Z) se vérifie 
très facilement quand n — 1. Elle est donc générale. 
54. Théorème IX. x étant compris entre 0 et 1, la série 
I (X* - Xï) + i (X? - XI) 4 - i (XI - XI) 4 - - r -î— - (X*.! - X» +1 ) 
5 
2m 4- 1 
. (56) 
a pour limite x 2 — 1. 
D’après les Corollaires III et IV : 
I dX, 
— (X„4-X 2 ) — 
I dX, 
-(X, 4 - X 3 ) — 
2.3 V dx 
MM 
Transformant, comme ci-dessus,^, ...,^, on trouve, au lieu du 
premier membre, 
</x„ 
rfX„ 
= ( 57 ) 
r-i-Jj t (Xî — XJ) -t- i (Xî — X',) 
1 — x ( 3 5 
2 m 
—r (Xl_,-X* + 1 ) 4 - 
V 
etc. 
(*) Formule ( 14 ). 
2 n — l 
(**) Le produit des racines égale !- — —-— X„_, [(2n 4 - DX,, — xX n _,]. 
v ' 1 (n + l) (2n 4 - o) 
