AVANT-PROPOS. 
Le présent Mémoire a été rédigé à l’occasion d’une série de lettres que 
M. Hermite m’a fait l’honneur de m’adresser, il y a quelques mois. 11 ne 
m’appartient pas de rapporter les appréciations du plus illustre des Géomètres 
français; mais, en me communiquant de nouveaux théorèmes sur les fonc¬ 
tions X n et P„, mon excellent ancien élève m’engageait à reprendre des 
recherches auxquelles j’avais complètement renoncé. Je n’ai pas eu la force 
de résister à des instances très agréables, et je me suis mis à étudier, de 
nouveau, les polynômes de Legendre , d 'Hermite et de Polignac. 
Des extraits de ma longue réponse à M. Hermite constituent la première 
partie du Mémoire. Si l’on en prend connaissance, on verra que j’ai cru 
devoir rectifier, en un point, les beaux théorèmes de M. Christofel. 
La deuxième partie contient des Notes sur divers sujets. La principale 
est relative à une expression démontrée à la page 4 des Nouvelles propriétés 
des fonctions X n . Si je ne me trompe, cette nouvelle formule est beaucoup 
plus simple et plus fertile que celle qui a été donnée par l’illustre Jacobi. 
Dans la troisième partie , on trouvera la définition des polynômes de 
Polignac , et la démonstration (peut-être incomplète) d’une relation entre ces 
polynômes et ceux de M. Hermite. 
