DE LEGENDRE, D’H ERMITE ET DE POLIGNAC. 
on a 
— (2>» — l)xS ,„_2 (m — l)S,„_ 3 = 0. 
(D)(*) 
Le calcul direct donne 
donc, en général, 
S, = -X = V; s, = - 4) = ^P 3 ; 
2 2 6 2 
S,,,-! = ~P m , 
OU 
P m = 2 
A()X m _i XjX (Jl _2 
x m -,x 0 ' 
m 
(E) 
ce qui est la formule (B), corrigée. 
III 
Permettez-moi de vous communiquer une conséquence, assez curieuse, 
du second théorème : 
P„ = 2 
'2 n — I v 2» — S v 2« — 9 v 
- Xn i ”4" —————— A 9 ,, x -4- À„ 
1 . n 3 (n — 1) 5(h — 2) 
• • • • (F) 
Elle consiste en celte propriété de la série harmonique, bornée à ses 
n premiers termes : 
1 l i v 
i -t--H-1- ••• -4-- V 
2 5 n S> 
1 \ 
2k I n — /» 
• (G) 
La limite supérieure des valeurs de k est le plus grand nombre entier 
contenu dans ——c’est-à-dire, avec la notation de Legendre, E 
4 
ïn — 1 
(*) Observez ceci : quand j’ai trouvé la relation (C), j’avais oublié la relation (D), qui ne 
diffère pas de la première. Ces accidents-là m’arrivent souvent. 
