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SUR LES POLYNOMES 
6. Théorème I. Pour x = 1, 
(PJ-2 
r i i 
1 ■+■ - H- 
L 2 a 
(A) (*) 
7. Remarque. ^(P n ) ne peut être un nombre entier, excepté si n = 1. (**) 
8. Théorème II. On a, entre les polynômes X n , P n , la relation 
dx n dP n xi — \ 
p —2 —x — - = 2—- 
" dx n dx X 2 - 1 
• (B) r*j 
9. Corollaire. L’équation 
dX n dP n 
p n -r 1 ~ X n —■ = °, 
dx dx 
(4) 
du degré 2n — 1 , est réductible à deux équations du degré n — 1. 
En effet, le second membre de (B) équivaut à 
%— 2 —^-( x „ -+- U- 
X — 1 
Or, si n est pair , X„ — 1 est divisible par x ' 2 — 1 ; et, si n est impair, 
X n — 4 est divisible par x — 1, tandis que X n + 1 est divisible par x + 1. 
10. Application . Soit n = 3. Alors : 
\ dx s 5 1 dP 3 
X 5 = -(5* 3 -3x)H, —- — 1 ), P 3 = -( 15x 2 — 4) ( IV ), ~r~— tOx. 
2 ax 2 o dx 
(*) Première partie, formule (E). 
(**) Mélanges mathématiques, t. III, p. 140. 
(***) C’est l’égalité (1), de la page 11. Il nous paraît utile de la resignaler. 
( IV ) Page 11. 
