DE LEGENDRE, D H ERMITE ET DE P0LIGN.4C. 
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ou 
L’équation (T) devient, après simplification, 
(15x 2 — 4)(5x 2 — 1) — 10x(5x 5 — 3x) = 0, 
25x 4 — ox 2 -+-4 = 0, 
(5x 2 — 5x -+- 2)(5x 2 -+- 5x' 2 -+- 2) = 0. 
ou enfin 
1 1. Théorème III. a étant une constante, supérieure à l’unité, 
r-. 
(Ix 
a — x 
wX„ 
- xX„ 
« — x 
= 0 
L’intégration par parties donne 
/• x „ + , - 
J (a — 
_ X n4 _, xX rt 
(a — x) 2 a — x 
dX„ +l dX n 
a — x 
dx. 
Pour x = ± 1, le binôme X„ + t — a?X n s’annule (*). Donc 
i+i 
‘ +, X„ 4 ., - xX„ 
-dx 
/' X.i+i — 
J (a — x) 2 
—i 
Le premier membre de (C) devient 
Y dX n dX„ +l 
a — x 
dx. 
(C) 
J a-xl K ' n dx dx J 
Or, en vertu du Lemme I, cette intégrale est nulle. C. Q. F. D. 
12. Corollaire I. p étant un nombre entier, on a 
" +1 x„ 
J (a — x)P 7 (a — x)? 4 - 1 
(S) 
(*) En effet, il est divisible par x i — 1. (Premier Mémoire, p. 6.) 
