DE LEGENDRE, DHERM1TE ET DE POLIGNAC. t7 
on déduit 
riz 
X 7 (x - zf 
-i 
ou, par le Lemme IV, 
r +, Jz _ 2 X„ t /H» Z „dz 
dx dx,! x — z x 2 — 1 J (x — zf 
16. Théorème V. On a, entre les polynômes X n et P n , la relation 
dP 
n+4 
d P„ 
x ^ =( , i+1)Pn 
2 dX„ 
dx dx 
n -+• 1 dx 
(E) 
D’après la formule (D), 
dP n+l dX 
n+l /° +i 
X J X — Z 
dx dx 
, X„ + , ^ /‘ fl Z n+I dz 
* X 2 — 1 J (x — zf 
Donc 
dP-H dP„ (dX 
dx 
g dP B _/rfx . +1 x dx\ /*+* dz 
dx \ dx dx IJ 
X — Z 
j Vi-H xX 
x' 2 — \ 
l+1 Z n+t — xZ n 
(x — zf 
dz . (9) 
En vertu des Lemmes I et II, le second membre équivaut à 
2 dX 
r‘ z "+»- xZ " 
J (x — 
2 n -+- 1 t/x 
(x — z ) 2 
‘ dz. 
En outre, 
/ 1 + l Z„ +1 — x Z„^_ = /*+* Z n+1 - (x - z)Z n - zZ„ 
c/ (x —z ) 2 * ./ 
(x — Z ) 2 
=/ 
>+l Z„ +l — zZ n 
(x — z) 2 
dz 
_ /‘ +i z> 
J x — z 
Le même second membre, de l’égalité (9), devient donc 
(n -4- t)X„ P'~ - P d P + f +l 7 P~ Z 1 " dz -P" P L 
./ X -Z - 4 - 1 dx J (x — zf ,/ X — 
dz. 
—i 
Tome XLIX. 
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