DE LEGENDRE, D’HERMITE ET.DE POLIGNAC. 
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ÉcnNons ainsi l’équation (E) : 
On sait que 
2(« -+- 1) — ” + ‘ — 2 [n ■+■ l)x—- == 2 (n -+- 1) 2 P — 4 . 
«x dx dx 
, d 2 P„ dP„ dX 
¥ — Oârff-*' 2x—= n(n+ 1)P„ —4 —. 
ax dx dx 
00) t*) 
Retranchant, on trouve 
dp 
t/ 2 P dP 
2 (« + 11 ~ ( x '” 2 ( n .-*■ y x d 7 = ( n + 0 ( n 2 ) p n J 
ce qui ne diffère pas de (F). 
19. Application. Soit n = 3. On doit avoir 
Mais : 
donc 
dPi . d*P s dP 3 
8— = (x 2 — I)— -+- 10x-^ 4- 20P 3 . 
(IX WXg (IX 
P 5 = 1(15x 2 - 4), P 4 = 4(21 x 3 - 11 x) (**); 
a 12 
dP z d î P 3 dP, 5 
-r—= lOx, —f=10, — = — (63x 2 - 11 ). 
dx dx dx 12 V 
L’égalité précédente se réduit à celle-ci : 
\ 2 
~(65x 2 — I I ) = (x 2 — I ) -+■ 10x 2 h- -( 15x 2 — 4), 
O O 
laquelle est identique. 
20. Lemme V. On a, identiquement, 
d - 
1 (x 2 — 1 )" 
2 dx 
x în-îf+{ 
— (n — p -+- 1)- 
V 1 (x* — l)’ ,+ ‘ 
+ (/>-!) 
^.2n-2/> + 5 
• (H) 
(*) Sur quelques formules _, p. 18. 
H Ibid., p. 12. 
