DE LEGENDRE, D’HERMITE ET DE POLIGNAC. 
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Pour la démontrer, j’observe que : 
T(a) r(r ) « F (a -+- I ) T (y) a (a ■+• 1 ) l (a H- 2) T (y ) 
1 = î>) î>) ’ r = r(r + 1) TJ*) ' y {y -+-1) ~ F (y + 2) f>) ' 
Donc, S étant la somme de la série (supposée convergente ) : 
i» n» ^ p n«-n) i) i > + 2) 
r(«) Lr(r) î T(y + i) 1.2 r (y 4-2) 
ou, en multipliant et divisant par r(y— a) : 
s = 
r(r) 
-- Ç (1 — 
F(a)T (y—a) 
U 
r(y) 
0 *- 
8 
i-0 a . 
F(a)F(y- 
— f (1 — dô . — 9 )"*; 
ou, finalement, 
F (r ) r(r — « — P) 
f (r — «) r (r — (3) 
(27) 
33. SW/e. Dans le cas le plus général, la série de Gauss est 
Sa S(S- 4 - 1 )a(a-+- 1 ) 
F(«, p,r, x) = l + f - x + -|x* + - 
1 r 1.2 y (y -t-1 ) 
Supposant a? 2 < 1, on trouve, sans nouveau calcul, 
F(r) — 
■ (28) n 
F(a, (3, y, x) = 
F(a)T (y 
b>/ 
(1 — Oxf 
(29) 
34. Une formule de Stirling. Si, dans la relation (26), on prend (3 = 1, 
elle se réduit à 
ns 4 rt rt (r/ _ 1 _ 4 1 
..(50) 
y — 1 a a (a - 4 - 1 ) 
= 1 H-h 
y — a — 1 y y(y + 1 ) 
Cette remarquable formule est due à Sterling (**) : 
(*) Bertrand, Calcul différentiel, p. 441. 
(**) Binet, Journal de l’École polytechnique, 37 e Cahier, p. 154. Voir, aussi, les Mélanges 
mathématiques, t. I, p. 147. 
