DE LEGENDRE, D’HERMITE ET DE POLIGNAC. 
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37. Première application. De (H) résulte, si x ~ 1 : 
/ïï _____ 
sin" 9 (sin cp-t- i / — i cos cp ) n dy, 
OU 
- -- —= f sin' , <p(cos <p— \/— 1 sin cp)"f/cp, 
OU 
(2 l/^T) 
/ '*7T _____ 
sin"<p(cos ncp — 1/ — 1 sinw<p)[$<p; 
(54) 
puis, si n = 2 n' : 
/ 7T n /' 
sin 2,i '(p cos Sn'cpdtp = — (—1)"', J si 
sin 2 "' <p sin 2ra'<p</<p = 0; 
(35) 
et, si n = %i' -J- 1 : 
j^ sin 2 “' +1 (p cos(2n'-t-l)<prfcp = 0; J sin 2 "’ +, cp sin(2n' + l)cptf<p = (—1)"'; (56) 
0 0 
valeurs connues (*). 
38. Dérivées de X n . La relation (R) donne 
d p x n 
dx p 
2" 
= — n(n — i) ... (n — p -+- I 
5 T 
7T 
sin 2 "cp (x 
0 
gr) n - p </<p ; 
(57) 
et, en particulier, 
d ^L = -Y(n 
dx n 7t 
/ 7T 
sin 2 ”cp(/cp 
(58) 
(*) Voir, par exemple, la Note de Serret (Journal de Liouville, 1845, p. 13). On peut 
consulter, aussi, notre Second Mémoire sur les fonctions X„ (p. 20). 
