DE LEGENDRE, D’H ERMITE ET DE POLIGNAC. 
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De là résulte 
(x-hI) 
/ x (x -+• \ ) 5 6 4 
ydx — —-—-— t)-+- -(x-+-l) 3 (ÿ — l) ! -4--(x-+- \ f(g — i) 3 +(x-f- \)(g — \)\ 
5 
OU 
/ * 1 
ydx — - [(x-+-1)“-H5(x-t-'l)*(ÿ—1)-t-iO(x-+-1) 3 (5r—1) 2 -H0(x-+-'l) 2 (<j[ — 1) 3 -<-5(x-H)(</ —1)J 4 . 
—I 
Par conséquent, 
d*(x*— i) 4 C 4 
dx° 
c r ,7r 
— y / sin 8 cpr/cp [(x -+- 1 ) 8 -+- 5(x ■+- ]) i (g — 1) 10(x +- 1 ) 3 (9 — I) 
IO(x \y(g 1 ) 3 -t- 5 (x -4- \)(g — 1 )*] (*). 
Le polynôme entre parenthèses est l’ensemble des cinq premiers termes du 
développement de (x + 1 + g — l) 5 . 
On trouve, de la même manière, 
d* C 4 S* 
-- -- / sin 8 tp(/tp.T s , 
dx 2 5.6 J T Y 
en posant 
T 6 =(x -h 1 ) c -+- C (x -4- 1 ) 5 (g — 1) -+- 15 (x -+- 1 )* (g — \ f-v- 20 (x -+- I f(g — l) 3 -i- 15 (x ■+• I f [g — l) 4 . 
Le polynôme T 6 , divisible par (x + I) 2 , est l’ensemble des cinq premiers 
termes du développement de [x 1 -f g — l) 6 . 
Continuant ainsi, on trouve encore : 
d(x*— \y 
dx 
C * r” 8 y 
=-/ simcprfcp. 1 7 , 
5.Ü.7 J Y * 
(x 2 -t; 
C ‘ r 8 y r 
- / sir» & qpc/cp. r„. 
.6.7.8 J T r 
Dans ces deux égalités, T 7 est l’ensemble des cinq premiers termes du 
développement de ( x + gj ; T 8 est l’ensemble des cinq premiers termes 
du développement de (x + g) s ; ces développements étant ordonnés suivant 
les puissances décroissantes de x -j- \. De plus, T 7 est divisible par (x + l) 3 , 
T 8 est divisible par (x 4- 1)\ 
{*) Les deux membres sont divisibles par x -v- \. 
