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SUR LES POLYNOMES 
Sans qu’il soit nécessaire d’insister davantage, nous énoncerons la 
proposition suivante : 
41. Théorème IX. Si l’on désigne par T 2n l’ensemble des n + 1 pre¬ 
miers termes du développement de (x + 1 + g -— l) 2n , on a 
(M) O 
42. Corollaire. 
(x_1)"=—\— f sin 2 "<prf<pU 2 „,.(40) 
rcC 2n , n ' 
0 
u 2 „ représentant le quotient de T 2n par -f- 0 ” • ( l u0 ^ en ^ es ^ un 
polynôme entier. 
43. Remarques. I. On a 
T 2 „= (x -+- If-t- Cta.d* I f~'(.9 -!) + ••■ + C 2n>n (x + 1)"(<7 - b) n , • • (41) 
u sn =(x + 1) n h- C 2b>1 (x+ \) n - l {g — t) -+-••• -*-C 2M , n (9 — t) n .(42) 
Donc, si a? = — 1, 
et, par la relation (40), 
U 2 „ = C 2)li „(g — 1 )” ; 
4" /* r 
(—2) n — — / sin 2w 9rf9(gf—1)", 
fl* J 
o 
OU 
/ sin 5M cpc/cp (i — y) n = — 
Ce résultat s’accorde avec la formule (34). 
(45) 
(*) D’ailleurs, si l’on part de cette expression de ( x 2 — l) n , et que l’on en prenne les 
dérivées successives, on retrouve la formule (K). Le second membre de (M) est donc un 
polynôme entier f[x), dont la dérivée n iimc égale-—— , et dont toutes les autres déri¬ 
vées, précédant celle-ci, s’annulent pour x = — \. Par conséquent, f(x) = (x* — l) n . 
