DE LEGENDRE, D’HERMITE ET DE POLiGNAC. 
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IL De même, x = 0 donne 
U* 2 n = T 2 „ = 1 + C 2n> 4 (g — 1 ) -+- C 2ni 2 (g — \ ) 2 h- • • • -+- C 2 „ n (g — i )" 
= <f ~ (9 ~ 1 ) n+1 [C 2 „,+ • • • + (g - 1 )—] ; 
après quoi, au moyen de la formule (4-0), on obtient 
(—\) n f cos fa <prf<p— sin*"©</<p (g — 1 )” +l ••• + {g — l)”" 1 ] = (— 1.)" ~ 
Mais celte relation peut être simplifiée. En effet, 
/ . a f f , , 1.3.5...2» 
/ cos 2 "cpc/(p = 2 / 2 cos 2n <pr/cp = T- 
•Z •>/ 2.4.6... 
in — 1 
2 » 4" 
Donc 
/ sin s "<pr/cp(ÿ — 1 )”+' h- C 2m , m _ 2 (gf — i ) -t- ... + (g — !)«-<] = 0 . (44) (*) 
43. Relation entre deux intégrales. Si, dans l’égalité (40), on change x 
en x 2 , la comparaison avec (M) donne 
/ sin s, 'cp(/(pV 2n = f sin**<ptf<pT 2 .,.(45) 
O 0 
pourvu que l’on suppose 
= (x - 4 - 1 ) -+- C 2n) ) ( x~ -4- 1 )“ 1 [g — 1 )-*-••• -+- C 2 „,„ (g — 1 ) n . . . (46) 
D’ailleurs (41) : 
T 2 „ = (x -+- 1 Y [(x -t- 1 )" -4- Ci,, I (x 1 )" (g — 1 ) -+-h C 2n> , (g — I )«] . . (47) 
Donc l’égalité (45) devient 
J° sin 2n tprfcp[(x 2 -+- 1)"+ C 2n ,,(x ? -+ iy-'ig — 1) + ••• -*- C UtH (g - 1)"] 
r , r (N) 
= (x + 1)"/ sin 5 "tpafcp [(x 1 ) n -t- C 2n> , (x 1 J- 1 (gf — 1 ) -+-+ C 2n ,„(g — 1 )"J 
0 
relation assez curieuse. Pour a? = 0, elle se change en identité. 
(*) Il est clair que l’on pourrait multiplier ces applications de la formule (40). Nous \ 
reviendrons plus loin. 
Tome XLIX. n 
