DE LEGENDRE, DH ERMITE ET DE POLIGNAC. 
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TROISIÈME PARTIE. 
POLYNOMES DE POLIGNAC (’). 
54. Problème. Evaluer la partie entière clu développement de 
X -+- 1 
X — I 
Soit Q n cette partie entière (Polynôme de Polignac). 
Il est visible que 
rs„ _s,_ 
[ x 3x 5 ^ 5x 5 + ^ (a»_ I )x in - i 
Le terme général du polynôme entre parenthèses est 
s. 
D’ailleurs, 
Donc 
(2 n — 2 p -i- l)x 2, ‘- 2 " H 
r\x ï — \ )"<x n - îll+l 
S P = ( i)’“2nC n - l ' ll _ l x în ^ v _ da. 
Q„= 4«x(x 2 —i; 
(la. " (— 1 )’’a h ‘ - î ''+ l 
w+i 2d 
(«V — I )*+« ^ 2 n — Hp + I 
(74) (**) 
(19) 
(75) 
(*) Les polynômes que je désigne ainsi jouissent de propriétés remarquables, dont la 
plupart ont été indiquées par M. C. de Polignac, dans le Bulletin de la Société mathématique 
de France (t. III, p. 19). 
(**) Soit, par exemple, n = 4. Le développement dont il s’agit est 
«U- -ta- + te- - + I) f H. _L _L + ...]. 
Donc 
q = “2(x 7 — 4x 5 -t- 6x 3 — 4x)-+- - (x* — 4x 3 -t- 6x) ^ (x 5 — 4x) -+- ; x; 
4 Ù Di 
ou, en reprenant les notations employées dans le n° 23 : 
s 3 s, s, 1 
- H - - 4 - -- I . 
3x 5 Sx 5 /x 7 J 
() 
Tome XLIX. 
