44 
SUR LUS POLYNOMES 
57. Une équation différentielle. De 
Q„ +1 =(x 2 -l)Q„ + B„x, . . 
on déduit : 
dQ„ 
"+f 
dx 
AU. 
dx 2 
d 3 Q„ +) 
(x 2 - I) 
dO, 
dx 
d 5 Q„ 
2a Q„ + B„, 
= (x2 - ,} rfZ + 4X 
rfo, 
dx 
2Q r „ 
dx 3 
d«Q,+. 
dx 4 
, , d 3 Q„ A <**Q„ rf.Q. 
(x 2 — t)—-+- bx — -+- b 
= (x 2 — i 
dx* 
,^Q„ 
dx 
nr^ 
8x 
dx 2 dx 
d 3 Q„ d 2 Q„ 
^ >c ' 1 
dx 3 
dx 2 
d’ !+l Q„ +1 , , d n+1 Q„ , d"Q„ , ,, d n , Q n 
dx" 
" + ‘ = (x 2 — t)-—v + 2(n+1)x-^4«(«+ i; , . 
-« v dx” + dx° dx" 1 
(77) 
(80) 
(T) 
Telle est l’équation différentielle cherchée (*). 
58. Remarque. Les premières valeurs de Q„ sont: 
Il en résulte : 
rfQt 
dx 
= 2 , 
Q ( = 2x, Q 2 — 2 x 3 — - x , Q s =2 x 
(fQ. 2 
dx 2 
= 12x, 
. „ 8 11 
2 X 5 - x 5 — 
AL 
dx 3 
= 40x 5 — 32x. 
Or, on sait que : 
Ainsi 
P, = 2, P 2 = 3x, P 3 = - (t 5x 2 — 4) (**). 
ô 
§= p " S- 2I - 2 ' P - S = 4 - , - 2 - 3P " 
On va voir que cette loi est générale. 
(*) Plus exactement, l’équation aux différences mêlées. 
(**) Sur quelques formules d’Analyse, p. 12. 
