DE LEGENDRE, D’HERMITE ET DE POLIGNAC. 
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59. Théorème X. On a, entre les polynômes d’Hermite et ceux de 
Polignnc , la relation 
d n + 'Qn 
+1 
dx 
n+i 
2 »I> + 2)P„ +I .(U) 
Supposons, d’après la Remarque précédente, 
d" Q„ 
dx" 
= 2- , r (n ■+■ I ) P„ ; 
(81) 
et voyons s’il en résulte l’égalité (U). Nous avons trouvé l’équation différen¬ 
tielle 
d” +, Q n+ 1 » , d n Q„ d n -'Q„ 
v»+i + j) x _^+ ... (T) 
dx n+l 
; = (x’ 2 —t) 
llx 
w-H 
dx" 
dx" 
On lire, de la relation (81) : 
d n+t Q n 
dx" +> 
= 2 n ~' F [n 1) 
d P. 
d"~'0 
-— = 2 n ~T(« 
dx"-' 
dx 
») j’v.dx- 
(82) 
Le second membre de l’équation (U) est donc 
dP P* 
2“-' r (n + 1 )(x 2 — 1 ) -r 1 T [> -+- I)xP n -+- 2"- 1 nT(»+ 2) / P,dx; 
v dx J 
et, d’après la formule (81), il faut vérifier que cette fonction égale 
2 n r (n -h 2) P„ + ) , ou que l’on a 
(x' t — 1)-t- 2x(n -+- t)P n + n(n h- I) f P n dx = 2(n + l)P„+i ■ • • (83) 
dx J 
L’équation différentielle à laquelle satisfait P n est 
d* P„ 
rfP„ 
+ 2(n + 2)x—^ + (n -h 2)(n -h 1)P„ = 2(n ■+• I) 
dx 2 dx 
dP 
dx 
. (F) n 
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